| 研究課題/領域番号 |
17340018
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
長友 康行 九州大学, 大学院・数理学研究院, 准教授 (10266075)
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| 研究分担者 |
山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657)
伊藤 光弘 筑波大学, 数理物質科学研究科, 教授 (40015912)
大仁田 義裕 大阪市立大学, 理学研究科, 教授 (90183764)
田崎 博之 筑波大学, 数理物質科学研究科, 准教授 (30179684)
高山 茂晴 東京大学, 数理科学研究科, 准教授 (20284333)
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| 研究期間 (年度) |
2005 – 2007
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| 研究課題ステータス |
完了 (2007年度)
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| 配分額 *注記 |
6,490千円 (直接経費: 5,800千円、間接経費: 690千円)
2007年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2006年度: 1,300千円 (直接経費: 1,300千円)
2005年度: 2,200千円 (直接経費: 2,200千円)
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| キーワード | 反自己双対接続 / ベクトル束 / モジュライ空間 / 四元数多様体 / リー群 / ツイスター空間 / コホモロジーの消滅定理 / 調和写像 / ASD接続 / コホモロジー / 消滅定理 |
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| 研究概要 |
2005年度はモジュライ空間のコンパクト化に焦点をあて、特異点集合として現れる部分多様体に注目した。高次元ASD方程式の線形化であるツイスター切断の零点集合として得られる部分多様体がそれである。さらに、ツイスター切断を使用した実グラスマン多様体への埋め込みを構成し、この埋め込みが極小埋め込みであることを示した。また、四元数ケーラー多様体上のASDベクトル束に対する消滅定理も得られた。
2006年度は本研究課題にとって本質的な進展といえる調和写像とYang-Mills接続とを関連付けることに成功した。リーマン多様体からグラスマン多様体への写像が調和写像となるための条件を得た。さらに、この定理を利用して、等質空間からグラスマン多様体へのエネルギー密度関数が定数関数となる調和写像の分類が得られた。また、実グラスマン多様体上において、ある位相的条件をみたすベクトル束が許容するASD接続がゲージ変換を除いて一意的であることを示すことができた。
2007年度はさらに上の写像が全測地的部分多様体となる場合を考察し、、既約型の全測地的写像に関しての分類定理を得た。この定理において、ある積分公式を確立したが、その値は終集合であるグラスマン多様体の次元を決定するものである。特に複素射影直線に関しては非分解型の全測地的写像が既約型であることを上述した定理と球関数の理論のベクトル束版を構築することにより示すことができたので、複素射影直線の場合には全測地的部分多様体が決定できたことになる。また、「ツイスター切断の幾何学」の類似をコンパクト対称空間上でも展開し、ほとんどのコンパクト型の既約対称空間において、全測地的部分多様体の組を発見した。この組はベクトル束の切断と深く関係し、これらを用いてある関数を構成し、グラスマン多様体上ではこの関数が等径関数となっていることを示した。さらに、この関数が部分多様体の族を与えるが、このうち唯一つの部分多様体が極小部分多様体であることを示すことにも成功した。
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