| 研究概要 |
射影多様体のCastelnuovo-Mumford regularityは,定義方程式,generic initial idealの生成元の次数,ヒルベルト関数に関係する不変量であり,多重割線と密接な関係をもつと期待される.この観点から,代数閉体上に定義された,次数d,余次元eの既約な射影多様体Xについて,主に,(I)多重割線;(II)Xを含む次数の小さい超曲面;を研究した.(I)では,多重割線の交点数が最大にとなる場合を調べた.また,(II)では,未解決問題regularity予想の状況証拠を得るため,XとXを含む次数d-e+1以下の超曲面の共通部分E(X)が一致するか調べた.B(X)を,Xが双有理に写されない線形射影のXの外の中心点の集合,C(X)を,Xが双有理に写されない線形射影のX内の中心点の集合とする.このとき次の結果が得られた.
(I-1)Xが非特異で,切断面種数gのとき,多重割線の交点数は,体の標数によらず,d-e+1-gを越えないことを示した.
(I-2)一般のXについて,多重割線の交点数の上限は,d-e+1であることを,割線からの線形射影が準有限射となる場合に証明した.
(II-1)B(X)を除くと,XとE(X)は,集合として一致し,B(X),C(X),そしてXの特異点集合Sing(X)を除くと,XはE(X)と,スキームとして一致することを示した.
(II-2)B(X)の次元は,Sing(X)の次元より高々1大きいこと,また,C(X)の次元は,Sing(X)の次元より高々2大きいことを示した.
B(X)やC(X)をXから分離するd-e+1次の超曲面を構成することは,次の課題である.
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