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正則自己同型群としてユニタリ群の直積が作用する複素多様体の特徴付け

研究課題

研究課題/領域番号 17540153
研究種目

基盤研究(C)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 基礎解析学
研究機関金沢大学

研究代表者

児玉 秋雄  金沢大学, 数物科学系, 教授 (20111320)

研究分担者 清水 悟  東北大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (90178971)
菅野 孝史  金沢大学, 自然科学研究科, 教授 (30183841)
加須栄 篤  金沢大学, 自然科学研究科, 教授 (40152657)
今吉 洋一  大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30091656)
野口 潤次郎  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (20033920)
連携研究者 菅野 孝史  金沢大学, 数物科学系, 教授 (30183841)
加須栄 篤  金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
中川 泰宏  金沢大学, 数物科学系, 准教授 (90250662)
今吉 洋一  大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30091656)
野口 潤次郎  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (20033920)
小松 玄  大阪大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (60108446)
研究期間 (年度) 2005 – 2008
研究課題ステータス 完了 (2008年度)
配分額 *注記
4,010千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 510千円)
2008年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2007年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2006年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2005年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
キーワード正則自己同型群 / 双正則同値 / 位相群 / スタイン多様体 / 複素幾何学
研究概要

本研究の主要な目的は, いくつかのユニタリ群の直積が正則自己同型群として効果的に作用するような複素多様体の構造を決定することであったが, この問題自体は非常に難しく, 完全には解決できなかった. しかし, 多変数関数論の研究においてしばしば登場するような, 多くの具体的な領域に対しては多くの興味深い結果が得られた. 特に, 複素ユークリッド空間内の単位多重円板はその正則自己同型群の構造から完全に特徴付けられることが証明され, 論文として印刷公表された.

報告書

(5件)
  • 2008 実績報告書   研究成果報告書 ( PDF )
  • 2007 実績報告書
  • 2006 実績報告書
  • 2005 実績報告書
  • 研究成果

    (66件)

すべて 2009 2008 2007 2006 2005

すべて 雑誌論文 (34件) (うち査読あり 23件) 学会発表 (32件)

  • [雑誌論文] An intrinsic characterization of the unit polydisc2008

    • 著者名/発表者名
      A. Kodama and S. Shimizu
    • 雑誌名

      Michigan Math. J 56(2008), no.1

      ページ: 173-181

    • NAID

      120001658168

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Standardization of certain compact group actions and the automorphism group of the complex Euclidean space, Complex Var2008

    • 著者名/発表者名
      A. Kodama and S. Shimizu
    • 雑誌名

      Elliptic Equ 53(2008), no.3

      ページ: 215-220

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] The second main theorem for holomorphic curves into semi-abelian varieties2008

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi, J. Winkelmann and K. Yamanoi
    • 雑誌名

      II, Forum Math 20(2008), no.3

      ページ: 469-503

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Asymptotic expansion of the Bergman kernel---elementary application of the invariant theory, Complex Analysis and its Applications2008

    • 著者名/発表者名
      G. Komatsu
    • 雑誌名

      Proceedings of the 15th ICFIDCAA Osaka 2007 OCAMI Studies Volume 2

      ページ: 43-63

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] An intrinsic characterization of the unit polydisc2008

    • 著者名/発表者名
      A. Kodama, S. Shimizu
    • 雑誌名

      Michigan Math. J. 56

      ページ: 173-181

    • NAID

      120001658168

    • 関連する報告書
      2008 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Standardization of certain compact group actions and the automorphismgroup of the complex Euchdean space2008

    • 著者名/発表者名
      A.Kodama
    • 雑誌名

      Complex Variables and Elliptic Equations 3

      ページ: 215-220

    • 関連する報告書
      2007 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] An intrinsic characterization of the unit polydisc2008

    • 著者名/発表者名
      A.Kodama
    • 雑誌名

      Michigan Math. J. 56(掲載確定)

    • NAID

      120001658168

    • 関連する報告書
      2007 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the Fourier-Jacobi expansion of the unitary kudla lift2007

    • 著者名/発表者名
      A. Murase and T. Sugano
    • 雑誌名

      Compositio Math 143

      ページ: 1-46

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Dirichlet finite harmonic functions and points at infinity of graphs and manifolds2007

    • 著者名/発表者名
      T. Hattori and A. Kasue
    • 雑誌名

      Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci 83(2007), no.7

      ページ: 129-134

    • NAID

      40015669757

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Some results in the analogue of Nevanlinna theory and Diophantine approximations, Diophantine geometry, 259--275, CRM Series2007

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi
    • 雑誌名

      4, Ed. Norm., Pisa

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Degeneracy of holomorphic curves into algebraic varieties2007

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi, J. Winkelmann and K. Yamanoi
    • 雑誌名

      J. Math. Pures Appl (9)88(2007), no.3

      ページ: 293-306

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Degeneracy of holomorphic curves into algebraic varaieties2007

    • 著者名/発表者名
      J.Nogllchi
    • 雑誌名

      J.Math. PuresAppl 88

      ページ: 298-306

    • 関連する報告書
      2007 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A construction of holomorphic families of Riemann surfaces over the punctured disk with given monodromy2007

    • 著者名/発表者名
      Y.Imayoshi
    • 雑誌名

      Handbook of Teichmuller spaces, European Math. Soc. 2(未定)

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] The second main theorem for holomorphic curves into semi-abelian varieties, II2007

    • 著者名/発表者名
      J.Noguchi, J.Winkelmann, K.Yamanoi
    • 雑誌名

      Forum Math. (未定)

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] Some results in the analogue of Nevanlinna theory and Diophantine approximations2007

    • 著者名/発表者名
      J.Noguchi
    • 雑誌名

      Proc. Pisa Trimester 2005, Diophantine Geometry (未定)

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] A group-theoretic characterization of the direct product of a ball and a Euclidean space2006

    • 著者名/発表者名
      J. Byun, A. Kodama and S. Shimizu
    • 雑誌名

      Forum Math 18(2006), no,6

      ページ: 983-1009

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A group-theoretic characterization of the space obtained by omitting the coordinate hyperplanes from the complex Euclidean space2006

    • 著者名/発表者名
      A. Kodama and S. Shimizu
    • 雑誌名

      II, J. Math. Soc. Japan 58(2006), no,3

      ページ: 643-663

    • NAID

      120004840228

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Inner product formula for Kudla lift, in "Automorphic forms and zeta functions"2006

    • 著者名/発表者名
      A. Murase and T. Sugano
    • 雑誌名

      World Scientific

      ページ: 280-313

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Variational convergence of finite networks, Interdiscip2006

    • 著者名/発表者名
      A. Kasue
    • 雑誌名

      Inform. Sci 12(2006), no, 1

      ページ: 57-70

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Convergence of Riemannian manifolds and Laplace operators2006

    • 著者名/発表者名
      A. Kasue
    • 雑誌名

      II, Potential Anal 24(2006), no, 2

      ページ: 137-194

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A group-theoretic characterization of the space obtained by omitting the coordinate hyperplanes from the complex Euclidean space, II2006

    • 著者名/発表者名
      A.Kodama, S.Shimizu
    • 雑誌名

      J. Math. Soc. Japan 58・3

      ページ: 643-663

    • NAID

      10018381026

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] A group-theoretic characterization of the direct product of a ball and a Euclidean space2006

    • 著者名/発表者名
      J.Byun, A.Kodama, S.Shimizu
    • 雑誌名

      Forum Math. 18

      ページ: 983-1009

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] A remark on holomorphic sections of certain holomorphic families of Riemann surfaces2006

    • 著者名/発表者名
      Y.Imayoshi, T.Nogi
    • 雑誌名

      Proc. of the 13th Intern. Conf. on Finite or Infinite Dimensional Complex analysis and Applications, World Scientific Publishing Co.

      ページ: 101-108

    • 関連する報告書
      2006 実績報告書
  • [雑誌論文] A group-theoretic characterization of the space obtained by omitting the coordinate hyperplanes from the complex Euclidean space, II2006

    • 著者名/発表者名
      A.Kodama, S.Shimizu
    • 雑誌名

      J.Math.Soc.Japan 58(未定)

    • NAID

      10018381026

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] A group-theoretic characterization of the direct product of a ball and a Euclidean space2006

    • 著者名/発表者名
      J.Byun, A.Kodama, S.Shimizu
    • 雑誌名

      Forum Math. (未定)

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] A group-theoretic characterization of certain unbounded domains in the complex Euclidean space, Finite or infinite dimensional complex analysis and applications2005

    • 著者名/発表者名
      A. Kodama and S. Shimizu
    • 雑誌名

      187--196, Kyushu University Press, Fukuoka

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Convergence of metric measure spaces and energy forms, Selected papers on differential equations and analysis, 79--96, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 215, Amer. Math. Soc2005

    • 著者名/発表者名
      A. Kasue
    • 雑誌名

      Providence, RI

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Nevanlinna theory and Diophantine approximation2005

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi
    • 雑誌名

      Sci. China Ser 48

      ページ: 146-155

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A note on entire pseudo-holomorphic curves and the proof of Cartan-Nochka's theorem2005

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi
    • 雑誌名

      Kodai Math. J 28(2005), no. 2

      ページ: 336-346

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A construction of holomorphic families of Riemann surfaces over the punctured disk with given monodromy2005

    • 著者名/発表者名
      Y. Imayoshi
    • 雑誌名

      Finite or infinite dimensional complex analysis and applications

      ページ: 97-104

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A remark on universal coverings of holomorphic families of Riemann surfaces2005

    • 著者名/発表者名
      Y. Imayoshi and M. Nishimura
    • 雑誌名

      Kodai Math. J 28(2005), no.2

      ページ: 230-247

    • NAID

      130003574486

    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A Group-theoretic characterization of certain unbounded domain in the complex Euclidean space2005

    • 著者名/発表者名
      A.Kodama, S.Shimizu
    • 雑誌名

      Proc.of the 12th Intern.Conf.on Finite and Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Kyushu Univ.Press

      ページ: 187-196

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] A remark on holomorphic families of Riemann surfaces and their universal covering spaces2005

    • 著者名/発表者名
      Y.Imayoshi, M.Nishimura
    • 雑誌名

      Kodai Math.J. 28

      ページ: 230-247

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [雑誌論文] A note on entire pseudo-holomorphic curves and the proof of Cartan-Nochka's theorem2005

    • 著者名/発表者名
      J.Noguchi
    • 雑誌名

      Kodai Math.J. 28

      ページ: 336-346

    • 関連する報告書
      2005 実績報告書
  • [学会発表] 準アーベル多様体内の整正則曲線の\\第二主要定理について2009

    • 著者名/発表者名
      野口潤次郎
    • 学会等名
      日本数学会年会
    • 発表場所
      東京大学
    • 年月日
      2009-03-28
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 代数多様体内の整正則曲線の退化について2009

    • 著者名/発表者名
      野口潤次郎
    • 学会等名
      日本数学会年会
    • 発表場所
      東京大学
    • 年月日
      2009-03-28
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Lang予想と小林予想をみたす射影超曲面の構成2009

    • 著者名/発表者名
      野口潤次郎
    • 学会等名
      日本数学会年会
    • 発表場所
      東京大学
    • 年月日
      2009-03-26
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 正則自己同型群による開球の直積の特徴付けに関する結果と問題, 多変数関数論冬セミナー2008

    • 著者名/発表者名
      児玉秋雄
    • 発表場所
      熊本大学理学部
    • 年月日
      2008-12-27
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 正則自己向型群による開球の直積の特徴付けに関する結果と問題2008

    • 著者名/発表者名
      児玉秋雄
    • 学会等名
      多変数関数論冬セミナー
    • 発表場所
      熊本大学理学部
    • 年月日
      2008-12-27
    • 関連する報告書
      2008 実績報告書
  • [学会発表] Harmonic Functions of finite Dirichlet integrals, The 4th Geometry Conference for the Friendship of China and Japan2008

    • 著者名/発表者名
      A. Kasue
    • 学会等名
      Chern Institute of Mathematics
    • 発表場所
      Nankai University, Tianjin, China
    • 年月日
      2008-12-22
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 接続と正則曲線のロンスキアンと第二主要定理について2008

    • 著者名/発表者名
      野口潤次郎
    • 学会等名
      京都大学数理解析研究所研究集会 : 葉層の微分幾何とベルグマン核
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      2008-12-16
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Anintrinsic characteri-zation of the direct product of balls, The Twelfth Conference on Real and Complex Analysis2008

    • 著者名/発表者名
      S. Shimizu
    • 学会等名
      Korea-Japan Seminar on Analy-sis
    • 発表場所
      東北大学
    • 年月日
      2008-12-04
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Some Second Main Theorems and Applications2008

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi
    • 学会等名
      Workshop on Complex Hyperbolic Geometry and Related Topics
    • 発表場所
      Fields Institute, Toronto
    • 年月日
      2008-11-17
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Unicity, Kobayashi hyper-bolicity, rational points and examples2008

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi
    • 学会等名
      Workshop on arithmetic and hyperbolic-geometry
    • 発表場所
      University of Montreal, Montreal
    • 年月日
      2008-11-08
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Generalized Kaehler-Ricciソリトンについて2008

    • 著者名/発表者名
      中川泰宏
    • 学会等名
      幾何学阿蘇研究集会
    • 発表場所
      休暇村南阿蘇
    • 年月日
      2008-09-02
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Functions of finite Dirichlet sum and compactifications of infinite graphs2008

    • 著者名/発表者名
      A. Kasue
    • 学会等名
      The 1^<st> MSJ-SI, Probabilistic Approach to Geometry, Kyoto
    • 発表場所
      京都
    • 年月日
      2008-07-28
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Some open problems in the value distribution theory and Kobayashi hyperbolic manifolds2008

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi
    • 学会等名
      Hayama Symposium on Complex Analysis in Several Variables 2008
    • 発表場所
      Shonan Village Center, Hayama
    • 年月日
      2008-07-15
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Connections and holomor-phic curves, Conference in Analysis and Geometry in Several Complex Variables2008

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi
    • 学会等名
      Insitute of Mathematics
    • 発表場所
      Romanian Academy, Bucharest
    • 年月日
      2008-06-25
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Value distribution and distribution of rational points, Spring Program Complex analysis in several variables2008

    • 著者名/発表者名
      J. Noguchi
    • 学会等名
      Mittag-Leffler Institute
    • 発表場所
      Djursholm
    • 年月日
      2008-03-27
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 正則自己同型群による複素多様体の特徴付けの試み2008

    • 著者名/発表者名
      児玉秋雄
    • 学会等名
      日本数学会年会
    • 発表場所
      近畿大学
    • 年月日
      2008-03-23
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 中澤の微分方程式について2008

    • 著者名/発表者名
      小松 玄
    • 学会等名
      森本徹先生御退官記念研究集会
    • 発表場所
      奈良女子大学
    • 年月日
      2008-03-18
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Kahler・Ricciソリトンの一般化について2008

    • 著者名/発表者名
      中川泰宏
    • 学会等名
      福岡大学微分幾何学研究会
    • 発表場所
      福岡大学・セミナーハウス
    • 年月日
      2008-01-11
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Kahler・Ricciソリトンの一般化について2007

    • 著者名/発表者名
      中川泰宏
    • 学会等名
      幾何学小研究集会
    • 発表場所
      KKRホテル函館
    • 年月日
      2007-11-16
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] An intrinsic characteri-zation of the unit polydisc2007

    • 著者名/発表者名
      児玉秋雄
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 発表場所
      東北大学
    • 年月日
      2007-09-24
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] An intrinsic characterization of the unit polydisc2007

    • 著者名/発表者名
      児玉 秋雄
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 発表場所
      東北大学
    • 年月日
      2007-09-24
    • 関連する報告書
      2007 実績報告書
  • [学会発表] An intrinsic characteri-zation of the unit polydisc, Effective aspects of complex hyperbolic varieties2007

    • 著者名/発表者名
      A. Kodama
    • 学会等名
      Centre de la Mer, Aber Wrach
    • 発表場所
      Brest, France
    • 年月日
      2007-09-12
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Asymptotic expansion of the Bergman kernel--elementary appli-cation of the invariant theory2007

    • 著者名/発表者名
      G. Komatsu
    • 学会等名
      plenary talk at The 15th International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications
    • 発表場所
      Osaka City University
    • 年月日
      2007-08-01
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Standardization of certain compact group actions and its applica-tions2007

    • 著者名/発表者名
      A. Kodama
    • 学会等名
      Complex function theory and geometry
    • 発表場所
      Banach Center, Poland
    • 年月日
      2007-06-14
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 聞いておきたかったこと, 研究集会2006

    • 著者名/発表者名
      小松 玄
    • 学会等名
      分析から総合へ-新しい数学の可能性
    • 発表場所
      仙台国際センター
    • 年月日
      2006-09-30
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 複素ユークリッド空間の自己同型群の部分群として与えられるリー群に関する2, 3の注意2006

    • 著者名/発表者名
      清水悟
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 発表場所
      大阪市立大学
    • 年月日
      2006-09-19
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] エネルギーと臨界計量2006

    • 著者名/発表者名
      中川泰宏
    • 学会等名
      第53回幾何学シンポジウム
    • 発表場所
      金沢大学
    • 年月日
      2006-08-05
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] A characterization of some product domains admitting U(n_1)×・・・×U(n_s)-actions by biholomorphic automorphisms2006

    • 著者名/発表者名
      A. Kodama
    • 学会等名
      Analytic and Geometric Theories of Holomorphic and CR Mappings
    • 発表場所
      Banff International Research Station, Banff, Canada
    • 年月日
      2006-05-01
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Tian-Catlin-Zelditchによるベルグマン核の漸近展開(overview)2006

    • 著者名/発表者名
      小松 玄
    • 学会等名
      多変数関数論唐津研究集会(仮題)
    • 発表場所
      佐賀県唐津の虹ノ松原ホテル(国民宿舎)
    • 年月日
      2006-02-19
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] 多変数函数論に現れるアダマール変分2005

    • 著者名/発表者名
      小松 玄
    • 学会等名
      大阪大学微分幾何研究会(坂根先生還暦記念)
    • 発表場所
      千里ライフサイエンスセンター
    • 年月日
      2005-12-15
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] An intrinsic characteri-zation of the direct product of balls2005

    • 著者名/発表者名
      児玉秋雄
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 年月日
      2005-09-22
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書
  • [学会発表] Hadamard's variations in several complex variables, Complex Ana-lysis, Differential Geometry and Partial Differential Equations2005

    • 著者名/発表者名
      G. Komatsu
    • 学会等名
      Conference in Honor of the 80^<th> Birthday of Masatake Kuranishi
    • 発表場所
      Department of Mathematics, Columbia University
    • 年月日
      2005-05-02
    • 関連する報告書
      2008 研究成果報告書

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公開日: 2005-04-01   更新日: 2016-04-21  

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