| 研究概要 |
研究課題に関する当該研究期間(平成17年〜18年)における,主要な研究成果の概要は,以下の通りであり,学術雑誌等で発表された.
研究成果のひとつは,ハンケル変換に関する移植定理が実バーディ空間において成り立つことを証明したことである.移植定理とは,二つの直交関数系に対するそれぞれのフーリエ展開を考えた時,展開係数が同じであれば,それぞれのフーリエ展開が与える2つの関数のノルムが同値であることを主張する定理である.これは直交関数展開の調和解析における有効な道具である.ハンケル変換とは,その特殊な場合としてフーリエ変換を含む有用な積分変換である.実バーディ空間における作用素の評価は,補間によって,ルベーグ空間における対応する評価を導く.我々は,これら有用な枠組みにおいて,移植定理を得たものである.
また,移植定理とは移植作用素の有界性を主張する定理と言える.この作用素は,ヒルベルト変換の一般化とも捕らえることが出来る.ヒルベルト変換は,ある条件を持つ関数を可積分関数に写すことが知られている.これをハンケル変換の移植作用素に対して示すことが出来た.さらに,この結果を用いてハンケル変換に関するチェザロ作用素の可積分関数の空間及び実バーディ空間における有界性を導くことが出来た.
さらに,積分変換に関してバーディ空間で成り立つ古典的なペーリーの不等式に類似な不等式を得たことである.古典的なペーリーの不等式とは,実バーディ空間に属する関数のフーリエ級数展開を考えたとき,第n番目のフーリエ係数の絶対値の2乗をアダマールの間隙をもつnに渡って総和したものは収束し,その和は元の関数の実バーディ空間のノルムの2乗で押さえられると言うものである.我々は,この古典的なペーリーの不等式が,ハンケル変換に関して類似の形で成り立つことを示した.
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