研究課題
基盤研究(C)
連立一次方程式に対するクリロフ部分空間反復法である一般化残差最小化(GMRES)法を、写像行列を用いることにより、大規模な最小二乗問題へ適用する解法に関する研究を行った。具体的には、もとの最小二乗問題の係数行列A、写像行列をBとして、正方行列ABを係数行列とする系にGMRES法を適用する方法と、BAを係数行列とする系に適用する方法を提案した。次に、優決定、劣決定、ランク落ちを含めた一般の場合に提案した手法が破綻せずに最小二乗解に収束するためのA、Bに関する十分条件を導いた。また、前処理行列Bとして、対角スケーリング、不完全修正グラム・シュミット法、不完全ギブンズ法、RIF(Robust Incomplete Factorization)法を様々な行列に対する数値実験により比較評価した結果、RIF法が一番収束性がよく、高速であることが判明した。このRIF法を適用することにより、提案手法が従来の前処理付き共役勾配最小二乗(CGLS)法よりも、悪条件の大規模疎行列に対して、高速であることを数値実験により検証した。さらに、行列の特異値を用いて提案手法の収束特性の理論解析も行った。一方、正方行列に対して提案されていた最急降下法を用いて近似逆行列を構成する方法を、長方形行列に対して一般化し、近似一般逆行列を求める前処理法を提案し、その有効性を理論解析と数値実験により示した。さらに、ランク落ちした最小二乗問題に対する前処理法を考案し、その有効性を検討している。
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Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics Vol.25,No.2
Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics Vol.25, No.2(to appear)
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