レフシェッツ束に関わるシンプレクティッフ・トポロジーと有界コホモロジー

• 研究課題/領域番号: 17740029
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 神田 雄高 北海道大学, 大学院・理学研究院, 助教 (30280861)
• 研究期間 (年度): 2005 – 2007
• 研究課題ステータス: 完了 (2007年度)
• 配分額: 3,000千円 (直接経費: 3,000千円); 2007年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円); 2006年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円); 2005年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
• キーワード: 有界コホモロジー / 写像類群 / ミルナー・ウッドの不等式 / リフシェッツ束 / レフシェッツ束 / 組み合わせ群論

研究概要

レフシェッツ束のトポロジーを写像類群の立場から研究した。具体的には、第1森田マンフォード類のグロモフセミノルムを上から評価する問題について考察した。
これに関してはシンプレクチック・トポロジーからの寄与が大きい。本研究者も最初はその線からのアプローチが有望であると考えていた。しかし結局は全く異なる方針を取る事になった。すなわち写像類群から代数群への表現を組織的に構成する方法が知られており、これを利用するのである。
写像類群の「作用する」曲面について、その有限不分岐被覆を決めるごとに、写像類群の表現が一つ定まる。各々の表現からはターゲットの代数群の適当な2-コサイクルを引き戻すことで、第1森田マンフォード類に相当する2-コサイクルが豊富に得られる。これら2-コサイクルのセミノルムを評価するときポイントとなるのは、表現の像の大きさである。だがリコリッシュの生成元たちが、各表現によってどんな元に移るかという問題が既に容易ではない。ちなみにアーベル被覆に相当する表現の場合は、像の大きさがよくわかっているが、ここからは我々の問題に関する非自明な結果はえられない。
本研究者は、表現の像がその定義から自明に分かる値域に一致するための「障害」を、代数的K理論を用いて定義した。障害の非自明性や大きさの評価は今後の課題である。