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写像の特異点論の革新とトポロジーの新展開

研究課題

研究課題/領域番号 17H01090
研究種目

基盤研究(A)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 幾何学
研究機関九州大学

研究代表者

佐伯 修  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)

研究分担者 大本 亨  北海道大学, 理学研究院, 教授 (20264400)
鎌田 聖一  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
石川 昌治  東北大学, 理学研究科, 准教授 (10361784)
遠藤 久顕  東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
岩瀬 則夫  九州大学, 数理学研究院, 教授 (60213287)
研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2018-03-31
研究課題ステータス 中途終了 (2017年度)
配分額 *注記
39,780千円 (直接経費: 30,600千円、間接経費: 9,180千円)
2017年度: 8,580千円 (直接経費: 6,600千円、間接経費: 1,980千円)
キーワード微分位相幾何 / 特異点 / 幾何的トポロジー / 特異ファイバー / 同境群 / レフシェッツ束
研究実績の概要

近年,接触構造,シンプレクティック構造,Stein構造などの幾何的構造を本質的に取り入れることで,トポロジー,特に低次元の幾何的トポロジーにおいて,著しく重要で斬新な結果が多数得られている.本研究では,そうした強力な幾何的アイデアや,低次元トポロジー固有の豊かな理論を写像の特異点論の世界に持ち込むことで,既存の概念・定式化・手法を革新し,特に大域的な特異点論の飛躍的発展を図ることが目的であった.さらにそうした研究を通して,トポロジーに写像の特異点論から新しい道を切り開き,重要な諸問題の解決を図ることで新研究領域を創成し,学問分野としてのトポロジーに新たな展開をもたらすことも目的とした.そのため本年度は,まず多様体対からの安定写像の特異ファイバーについて,佐伯と山本が共同研究を行い,3次元多様体と曲面からなる多様体対から曲面への安定写像に対する特異ファイバーの分類定理をまず得た.そして,その応用として普遍複体のコホモロジー群を低い次元に対して計算し,ある種の同境群の非自明性を示すことに成功した.こうした,多様体対上の写像の同境に関する研究はこれまでにまったくなく,斬新な結果であると言える.またこうした研究は多値関数のデータ可視化にも応用の可能性があり,そういった観点から,多数目的最適化理論への特異点論の応用の可能性も含めて議論を行い,今後の研究の新たな方向性を見出すことができた.これも今回の研究の大きな成果の一つと言える.一方,4次元多様体上のレフシェッツ束,特に超楕円的レフシェッツ束について,これまでにない新しい不変量を遠藤と鎌田が開発し,チャートの手法を駆使することで,二つの超楕円的レフシェッツ束が安定的に同値となるための必要十分条件を発見することに成功した.これも今後につながる大きな成果であった.

現在までの達成度 (段落)

29年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

29年度が最終年度であるため、記入しない。

報告書

(1件)
  • 2017 実績報告書
  • 研究成果

    (5件)

すべて 2017 その他

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件、 謝辞記載あり 1件、 オープンアクセス 1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Theory of singular fibers and Reeb spaces for visualization2017

    • 著者名/発表者名
      O. Saeki
    • 雑誌名

      Topological Methods in Data Analysis and Visualization IV - Theory, Algorithms, and Applications

      巻: 報告集 ページ: 3-33

    • DOI

      10.1007/978-3-319-44684-4_1

    • ISBN
      9783319446820, 9783319446844
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Singular fibers of stable maps of manifold pairs and their applications2017

    • 著者名/発表者名
      Osamu Saeki and Takahiro Yamamoto
    • 雑誌名

      Advances in Singularities and Foliations: Geometry, Topology and Applications

      巻: 未定

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Counting Dirac braid relators and hyperelliptic Lefschetz fibrations2017

    • 著者名/発表者名
      H. Endo and S. Kamada
    • 雑誌名

      Transactions of London Mathematical Society

      巻: 4 号: 1 ページ: 72-99

    • DOI

      10.1112/tlm3.12002

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Lefschetzファイバー空間2017

    • 著者名/発表者名
      遠藤久顕
    • 雑誌名

      数学

      巻: 69 ページ: 157-180

    • NAID

      130007638744

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり
  • [備考] Osamu Saeki's Home Page

    • URL

      http://imi.kyushu-u.ac.jp/~saeki/index.html

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書

URL: 

公開日: 2017-04-28   更新日: 2023-03-16  

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