保型形式論と二次形式論の研究

• 研究課題/領域番号: 17H02834
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 池田 保 京都大学, 理学研究科, 教授 (20211716)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2022-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2022年度)
• 配分額: 17,420千円 (直接経費: 13,400千円、間接経費: 4,020千円); 2021年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円); 2020年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円); 2019年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円); 2018年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円); 2017年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
• キーワード: 保型形式 / 二次形式 / エルミート形式 / 保形形式 / 保型表現 / 保型的L関数 / 退化Whittaker関数 / Gross-Keating不変量 / 保型的Ｌ関数 / 退化Whittaka関数 / ジーゲル級数

研究成果の概要

ジーゲル級数はジーゲルアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数に現れる重要な不変量である．本研究では二次形式のグロス・キーティング不変量とその精密化である拡大グロス・キーティング・データを研究し，ジーゲル級数の明示的な公式を与えた．応用として，ヒルベルト・ジーゲル保型形式のリフティングやアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数の評価なども与えた．また，エルミート形式に対してもグロス・キーティング不変量の研究を行った．

研究成果の学術的意義や社会的意義

整数論において，保型形式，とくにヘッケ作用素の同時固有形式の不変量を調べることは重要な課題である．筆者の過去の研究では一変数のヘッケ同時固有形式から高次のジーゲル保型形式へのリフティングが存在することを示したが，このリフティングはまたヘッケ同時固有形式となる．
本研究ではリフティングの研究で重要な役割を果たしたジーゲル級数を詳細に研究した．ジーゲル級数が二次形式のグロス・キーティング不変量とその精密化である拡大グロス・キーティングデータを用いて表すことができることを示し，その明示的公式を与えた．また，応用としてヒルベルトジーゲル級数のリフティングを与え，そのフーリエ級数の評価なども与えた．

研究成果

• [雑誌論文] Estimates for the Fourier coefficients of the Duke-Imamoglu-Ikeda lift (2023)
  • 著者名/発表者名: Tamotsu Ikeda and Hidenori Katsurada
  • 雑誌名: Forum Math. 巻: - 号: 4 ページ: 975-990
  • DOI: 10.1515/forum-2022-0197
  • 査読あり
• [雑誌論文] An inductive formula of the Gross-Keating invariant of a quadratic form (2023)
  • 著者名/発表者名: Sungmun Cho, Tamotsu Ikeda, Hidenori Katsurada, Chul-hee Lee and Takuya Yamauchi
  • 雑誌名: Tohoku Mathematical Journal 巻: -
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] On the lifting of Hilbert cusp forms to Hilbert-Siegel cusp forms (2020)
  • 著者名/発表者名: Ikeda, Tamotsu; Yamana, Shunsuke
  • 雑誌名: Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure 巻: 53 号: 5 ページ: 1121-1181
  • DOI: 10.24033/asens.2442
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the Gross-Keating invariant of a quadratic form over a non-archimedean local field (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Ikeda and H. Katsurada
  • 雑誌名: Amer. J. Math. 巻: 140 号: 6 ページ: 1521-1565
  • DOI: 10.1353/ajm.2018.0046
  • 査読あり
• [学会発表] On the theory of the liftings (2023)
  • 著者名/発表者名: Tamotsu Ikeda
  • 学会等名: 保型形式と数論
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] An explicit formula for the Siegel series (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Ikeda
  • 学会等名: Representation theory of reductive Lie groups and algebras
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Hilbert-Siegel modular forms on adele groups (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Ikeda
  • 学会等名: 21st autumn workshop on number theory
• [学会発表] Algebraic automorphic forms and Hilbert-Siegel modular forms (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Ikeda
  • 学会等名: 21st autumn workshop on number theory
• [学会発表] Gross-Keating invariants of Hermitian forms (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Ikeda
  • 学会等名: Pan Asia Number Theory Conference 2018
• [学会発表] On the Gross-Keating invariant for hermitian forms (2018)
  • 著者名/発表者名: 池田保・桂田英典
  • 学会等名: 保型形式の解析的・数論的研究
  • 国際学会
• [学会発表] On the Gross-Keating invariant of a quadratic form and its application to Siegel series (2017)
  • 著者名/発表者名: Tamotsu Ikeda
  • 学会等名: Automorphic forms and related topics
  • 国際学会
• [学会発表] On the Gross-Keating invariant of a quadratic form and its applicationto Siegel series (2017)
  • 著者名/発表者名: Tamotsu Ikeda
  • 学会等名: Special values of automorphic L-functions, periods of automorphic forms and related topics
  • 国際学会
• [学会・シンポジウム開催] アジア地域における数論研究（Pan Asian Number Thoery Conference） (2021)
• [学会・シンポジウム開催] 21st Autumn Workshop on Number Theory (2018)