| 研究課題/領域番号 |
17K05211
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
眞田 克典 東京理科大学, 教育支援機構, 教授 (50196292)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2019年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2018年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2017年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 代数学 / 環論 / ホッホシルトコホモロジー / リー代数構造 / Gerstenhaber構造 / Batalin-Vilkovisky構造 / ホッホシルト拡大 |
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| 研究実績の概要 |
多元環のホッホシルトコホモロシジー環はリー代数構造、すなわちGerstenhaber構造をもつ。それに加えて、-1次の作用素（BV作用素）の存在に関する研究が進められており、多元環によっては、リー・ブラケットがこの作用素で表現できるものがある。このBV作用素をもつ構造はBatalin-Vilkovisky構造（BV構造）と呼ばれている。対称多元環に対しては、そのホッホシルトコホモロジー環はBV構造をもつことが知られており、その一般化であるフロベニウス多元環の場合にBV構造をもつかどうかが問題となる。すでに、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環に対しては、そのホッホシルトコホモロジー環がBV構造をもつことが示されている。
本研究課題の主要な目標は、以上を踏まえて、フロベニウス多元環に対してコホモロジーを全次元に拡張した完備ホッホシルトコホモロジー環における、いわゆる完備BV構造の存在性を研究すること、また具体的でかつ応用上重要なフロベニウス多元環を対象にしてそのBV構造を決定することである。以前から研究を進めてきた中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環の完備ホッホシルトコホモロジー環にBV作用素が構成できること、および自己移入的中山多元環の具体例に対して、BV作用素を実際に計算し、それを用いたリー・ブラケットの具体計算に関する共著論文が、すでに学術誌に掲載されたが、当該年度は、ホッホシルト拡大のホッホシルトコホモロジー環およびそのBV構造について、引き続き具体計算も行なって明らかにすることを進めた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これまでに本研究で得られた結果をふまえて、フロベニウス多元環であるホッホシルト拡大のホッホシルトコホモロジー環に関係する論文を検討しながらそのBV構造を研究した。その中で、鯉江秀行氏(神戸市立工業高等専門学校)らは、ホッホシルト拡大のホッホシルトコホモロジー環に関して、対象となる多元環の拡張を研究していることから、本研究代表者はその研究成果をもとに、BV構造への応用について、研究打ち合わせを行なった。鯉江氏らの研究は、従来扱っていた多元環を部分的に包含する多元環(quadratic monomial algebra)に対するものであって、具体例も多く、非常に興味深いものである。この分野の研究はそれほど多くはなく、この結果は、コシュールデュアルを用いるという、手法的にも独特かつ優れたものと考える。本研究代表者は、この種の多元環のホッホシルト拡大環を対象として、その完備コホモロジーのBV構造の研究を行うことを計画してきたが、この度の研究打ち合わせによって、BV作用素の構成に対する手がかりになった。
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| 今後の研究の推進方策 |
前項で述べたホッホシルト拡大環の構造に関する鯉江氏らの研究は、その手法は2次のホッホシルトホモロジーを用いたもので、複雑ではあるが巧みなものである。今後も、同氏らとの研究打ち合わせを通して、ホッホシルト拡大のホッホシルトコホモロジー環とBV構造の具体計算の研究を進めたい。
また、中山自己同型が対角化可能ではないフロベニウス多元環に対して通常のホッホシルトコホモロジーにBV作用素を定めることができるという研究もされており、その完備化についても、臼井智氏（東京都立産業技術高等専門学校)からの専門知識の提供を受けてこの研究につなげていく。
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