| 研究課題/領域番号 |
17K14223
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 研究分野 |
数学解析
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| 研究機関 | 津田塾大学 |
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研究代表者 |
菊池 弘明 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (00612277)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2019年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2018年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2017年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 非線形シュレディンガー方程式 / 基底状態 / ソボレフ臨界指数 / 非退化性 / 非存在 / 指数型非線形項 / 特異定常解 / 非一意性 / 基底状態値 / エネルギー臨界 / 質量臨界 / 有限時間爆発 / 非等方性シュレディンガー方程式 / 安定性 / 最小化問題 / ソボレフ臨界 / レゾルベント展開 / 特異解 / 軌道安定性 / 非線形楕円型方程式 / 一意性 / 爆発 / 散乱 / 変分法 / ソボレフ超臨界 / リュウビル・ゲルファント問題 / 関数解析学 |
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| 研究成果の概要 |
研究期間中に得た成果は大きく分けて3つに分かれる。一つ目の成果は、エネルギー臨界指数を含む二重べきの非線形シュレディンガー方程式の基底状態についてである。まず、適当な条件の下、基底状態は一意で非退化であることを示した。また、空間3次元において、ある状況下においては基底状態が存在しないことも分かった。次に空間2次元の指数型非線形項を持つ熱方程式に対して、特異定常解を構成した。また、その特異定常解を初期値とする正則解(時間が少しでも経つと有界になる解)が存在することを示した。結果として、初期値問題の非一意性を得た。3番目に、非等方的なシュレディンガー方程式の定在波の軌道安定性を得ることが出来た。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
非線形シュレディンガー方程式の大域挙動は盛んに研究されている。この研究では、基底状態が重要な役割を果たす。しかし、ソボレフ臨界指数を含む二重べきの場合、基底状態の解析が困難であった。この問題を解決することが出来、得られた結果により、シュレディンガー方程式の大域挙動を調べられるものと思われる。
発展方程式において、初期値問題の適切性(存在、一意性、初期値連続依存性)の研究は重要な問題である。熱方程式の初期値問題の非一意性は、空間3次元以上の臨界の場合には知られていたが、空間2次元の場合は不明であった。ここでは特異定常解を構成し、さらにそれを初期値とする正則解を構成することで、非一意性を得られた。
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