| 研究概要 |
非特異射影代数多様体Xから自分自身への全射正則写像fが非定値写像かつ同型写像でないとき、非自明な自己準同型写像(endomorphism)という。この時、fは必然的に有限写像となり、更にXの小平次元が非負ならばfは不分岐である事が知られている。私の研究目的は、非自明な自己準同型像を数多く持つ射影代数多様体の構造を代数多様体の分類論の視点から出来る限り具体的に調べることである。2002年に私は森理論(端射線の理論)と楕円ファイバー空間の理論とを駆使して、小平次元が非負の非特異3次元射影代数多様体Xで、非自明な自己準同型写像を許すものの完全な記述にほぼ成功していた:Xの小平次元=1で飯高ファイバー空間の一般ファイバーがアーベル曲面の場合のみが唯一、未解決であった。当該研究の成果として、この残された場合も中山昇氏(京大数理研)との共著論文(Endomorphisms of smooth projective 3-folds with nonnegative Kodaira dimension,II,J.Math.Kyoto Univ.47-1(2007),79-114)において解決した。更に以前の結果を精密化して、非自明な全射正則写像を持つ小平次元が非負である非特異3次元射影代数多様体の分類は以下の理想的な形で完成した。
主定理:小平次元が非負な非特異3次元射影代数多様体Xが非自明な全射自己準同型写像を持つ為の必要十分条件は、Xの適当な有限次エタール・ガロワ被覆Yが或る非特異射影代数多様体W上のabelianスキームの構造を持ち、これがガロワ群Ga1(Y/X)の作用と同伴なことである。
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