| 研究概要 |
Mがコンパクトリー群Gの可微分作用をもつときに,Lip_G(M)をコンパクトな台をもつ同変イソトピーによりMの恒等写像とイソトピックな同変リプッシッツ同相群全体のなす群とする.Lip_G(M)にはコンパクト開位相とコンパクトリプッシッツ開位相の2通りの自然な位相群の構造が導入される.当該研究期間に,コンパクトリプッシッツ開位相によるLip_G(M)の単位元の連結成分Lip_G(M)_0の構造を,Mが余次元1の軌道をもつ場合に調べた.Gが有限群の場合はLip_G(M)_0は完全群であることが解明されている.最初にMがGの表現空間Vになる場合に考察した.GがVの単位球面に推移的に作用する場合が問題となる.この場合には,原点の近くのリプッシッツ同相の振る舞いを調べるために,これまでとは異なる新たな方法を用いて,Lip_G(V)が完全群となることを証明した.次に一般にMが余次元1の軌道をもつ場合にL_G(M)の1次元ホモロジー群を求めた.この結果を同変微分同相群の場合と対比することで,これらの圏のホモロジー論的な相違が顕著になった.また可微分で局所自由なS^1作用をもつ3次元多様体Mに対して,同変微分同相群の1次元ホモロジー群を調べた.これまでにM=S^3の場合その群構造が求められていたが,一般の3次元多様体の場合にその構造を決定した.この結果は,最近発行された論文に掲載されている.また可微分で局所自由なS^1作用をもつ3次元多様体Mに対して,同変微分同相群の1次元ホモロジー群を調べた.この結果は最近発刊された海外誌に掲載された。
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