GKZ超幾何線形偏数分方程式系の解空間の次元と代数的局所コホモロジーについて

研究課題

研究課題/領域番号	18840037
研究種目	若手研究(スタートアップ)
配分区分	補助金
研究分野	基礎解析学
研究機関	北海道工業大学
研究代表者	奥山豪北海道工業大学, 総合教育研究部, 講師 (60433421)
研究期間 (年度)	2006 – 2007
研究課題ステータス	完了 (2007年度)
配分額 *注記	1,530千円 (直接経費: 1,530千円) 2007年度: 720千円 (直接経費: 720千円) 2006年度: 810千円 (直接経費: 810千円)
キーワード	GKZ超幾何系 / ホロメミック次元 / 代数的局所コホモロジー群 / ホロノミック次元 / 代数的局所コホモロジー / トーリック多様体
研究概要	当該年度以前においては、GKZ超幾何系の解空間の次元(ホロノミック次元)に関してはGKZ超幾何系を定める整数係数行列の階数が2や3といった低階数の場合や、その行列から決まるトーリック環がコーエン・マッコーレー環である場合、そしてGKZ超幾何系が定める複素パラメータがいわゆるジェネリックの場合などといった強い条件の下の場合でしか振る舞いが分かっていなかった。一方、代数的局所コホモロジー群に関してはその行列から決まるトーリック環がコーエン・マッコーレー環である場合や、複素パラメータがジェネリックの場合でしか、その構造が分かっていなかった。当該年度においては、より一般の場合における振る舞いを研究すべく、まずはGKZ超幾何系に対応するワイル代数上の左加群のある種の分解(resolution)を考えた。その結果、振る舞いが悪くなるいわゆる特殊なパラメータを与えた場合でもホロノミック次元や代数的局所コホモロジーを計算する手段を与えることができ、従来よりも一般的な状況における2つの不変量の振る舞いを調べることができた。具体的に言うと、代数的局所コホモロジーについては、GKZ超幾何系を定める行列に対応するトーリック環が必ずしもコーエン・マッコーレー環でないような場合であっても、その行列が低階数であれば、パラメータが特殊なものであっても人間の手で計算できるようになった。従来はこれらの事例でも計算機を用いても計算できないこどが多かったことを考えると、十分に意義があるものと考えられる。一方、ホロノミック次元に関しては、すべての場合とまでは行かないが、ホロノミック次元の上からの評価、また特殊な場合でのホロノミック次元の上界を、GKZ超幾何系を定義する行列から決まる組み合わせ構造を用いて記述できることがわかった。これらの結果は現在論文執筆中である。