普遍性を主題としたDirichlet級数の解析の性質の解明

研究課題

研究課題/領域番号	18840043
研究種目	若手研究(スタートアップ)
配分区分	補助金
研究分野	代数学
研究機関	宇部工業高等専門学校
研究代表者	見正秀彦宇部工業高等専門学校, 一般科, 講師 (10435456)
研究期間 (年度)	2006 – 2007
研究課題ステータス	完了 (2007年度)
配分額 *注記	1,760千円 (直接経費: 1,760千円) 2007年度: 770千円 (直接経費: 770千円) 2006年度: 990千円 (直接経費: 990千円)
キーワード	代数学 / 関数論 / 解析的整数論
研究概要	有理数体に1の3乗根を添加して得られる虚二次体をKとおく。K上、立方剰余記号がGaussにより導入され、更にEisensteinにより同記号の相互剰余法則が証明された。立方剰余記号に付随するK上のHecke L関数を以下、cubic L関数と呼ぶ。現在cubic L関数の解析的側面からの研究はW.LuoによるNon-vanishing問題やH.Xiaによる零点密度定理などが知られている。以前、私は名越弘文氏と共にGaussの平方剰余相互律を用いる事で平方剰余記号に付随するDirichlet L関数の普遍性を証明する事に成功した。その過程で得た手法を元に、今年度cubic L関数の値分布の研究に着手した。その結果、Eisensteinの立方剰余相互法則とD.R.Heath-Brownの立方剰余記号についてのlarge sieve inequalityを応用することによりcubic L関数の普遍性を証明する事に成功した。その主張は「与えられたコンパクト領域CとC上の正則関数f(s)に対し、適当な立方剰余記号を選ぶと、対応するcubic L関数によりf(s)はC上一様近似できる」というものである。又、数論的ゼータ関数のs=1での特殊値が代数的な量を表すことに着目し、普遍性の応用として、K上の3次拡大体の類数分布の稠密性を証明する事に成功した。以上の結果を平成20年10月ドイツで開催されるコンファレンス"NEW DIRECTIONS IN THE THEORY OF UNIVERSAL ZETA-ANDL-FUNCTIONS"で報告する予定である。