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リーマン多様体の収束・崩壊理論の新展開

研究課題

研究課題/領域番号 18H01118
研究種目

基盤研究(B)

配分区分補助金
応募区分一般
審査区分 小区分11020:幾何学関連
研究機関筑波大学 (2020-2021)
京都大学 (2018-2019)

研究代表者

山口 孝男  筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (00182444)

研究分担者 本多 正平  東北大学, 理学研究科, 教授 (60574738)
塩谷 隆  東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2021-03-31
研究課題ステータス 完了 (2021年度)
配分額 *注記
10,400千円 (直接経費: 8,000千円、間接経費: 2,400千円)
2020年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2019年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2018年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
キーワード崩壊理論 / 境界付きリーマン多様体 / アレクサンドロフ空間 / CAT(1)空間 / 境界特異点 / 崩壊 / 境界つき多様体 / スペクトル収束 / 境界付き多様体 / 負曲率リーマン多様体 / 測度距離空間 / 有界コホモロジー / 境界つきリーマン多様体 / 単体的体積 / CAT(1)-空間
研究成果の概要

(1)断面曲率が下に有界で、境界の第2基本形式が一様に有界であるような境界つきリーマン多様体の無限列のグロモフ・ハウスドルフ距離に関する収束や崩壊現象について研究し、極限空間の境界特異点の分類と特徴付けを始めとする幾何学をほぼ決定した。(Zhilang Zhang氏との共同研究).(2)曲率が上に有界で測地的に完備な2次元距離空間の位相特異点集合を始めとする局所構造を決定し、曲率が上に有界な多面体による近似定理やガウス・ボンネ定理を得た。(永野幸一氏と塩谷隆氏との共同研究).(3) 境界をもつ3次元アレクサンドロフ空間で崩壊するものの位相を決定した(三石史人氏との共同研究)。

研究成果の学術的意義や社会的意義

閉じたリーマン多様体の崩壊理論は、Perelman によるポアンカレ予想・幾何化予想解決において重要な役割を果たした。一方で応用の観点からも境界付きリーマン多様体の崩壊の研究は重要であるが、Jeremy Wongの研究以後、我々の研究まで全く進展がなかった。我々の研究は新境地を開くものである。曲率が上に有界な空間は、幾何学的群論など関連分野は広い。しかしその局所構造は極めてワイルドなもので、これまで未解明であった。本研究により測地的に完備で曲率が上に有界な2次元距離空間の局所構造が世界で初めて解明された。これにより曲率の上界の根源的な本質を深く理解することが可能となった。

報告書

(4件)
  • 2021 研究成果報告書 ( PDF )
  • 2020 実績報告書
  • 2019 実績報告書
  • 2018 実績報告書
  • 研究成果

    (32件)

すべて 2021 2020 2019 2018 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (15件) (うち国際共著 5件、 査読あり 15件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (15件) (うち国際学会 12件、 招待講演 15件) 図書 (1件)

  • [国際共同研究] Foshan University(中国)

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
  • [雑誌論文] New differential operator and non-collapsed RCD spaces2020

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 雑誌名

      Geom. Topol

      巻: 24 号: 4 ページ: 2127-2148

    • DOI

      10.2140/gt.2020.24.2127

    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Rigidity for positive Ricci curvature via metric measure geometry2020

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 雑誌名

      Adv. Stud. Pure Math.

      巻: 85 ページ: 151-161

    • DOI

      10.2969/aspm/08510151

    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Graph manifolds as ends of negatively curved Riemannian manifolds2020

    • 著者名/発表者名
      Fujiwara Koji、Shioya Takashi
    • 雑誌名

      Geometry & Topology

      巻: 24 号: 4 ページ: 2035-2074

    • DOI

      10.2140/gt.2020.24.2035

    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Inradius collapsed manifolds.2019

    • 著者名/発表者名
      Yamaguchi, Takao; Zhang, Zhilang
    • 雑誌名

      Geom. Topol.

      巻: 23 号: 6 ページ: 2793-2860

    • DOI

      10.2140/gt.2019.23.2793

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Obtuse constants of Alexandrov spaces2019

    • 著者名/発表者名
      MITSUISHI Ayato、YAMAGUCHI Takao
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      巻: 71 号: 4 ページ: 1081-1103

    • DOI

      10.2969/jmsj/78917891

    • NAID

      130007733314

    • ISSN
      0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Good coverings of Alexandrov spaces2019

    • 著者名/発表者名
      Mitsuishi Ayato、Yamaguchi Takao
    • 雑誌名

      Transactions of the American Mathematical Society

      巻: 372 号: 11 ページ: 8107-8130

    • DOI

      10.1090/tran/7849

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Isoperimetric rigidity and distributions of 1-Lipschitz functions2019

    • 著者名/発表者名
      Nakajima Hiroki、Shioya Takashi
    • 雑誌名

      Advances in Mathematics

      巻: 349 ページ: 1198-1233

    • DOI

      10.1016/j.aim.2019.04.043

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A note on collapsing geometry of hyperKahler four manifolds2019

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda, Song Sun and Ruobing Zhang
    • 雑誌名

      Sci. China Math.

      巻: 62 号: 11 ページ: 2195-2210

    • DOI

      10.1007/s11425-019-1602-x

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Inradius collapsed manifolds2019

    • 著者名/発表者名
      T. Yamaguchi and Z. Zhang
    • 雑誌名

      Geometry and Topology

      巻: 印刷中

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Lipschitz homotopy convergence of Alexandrov spaces2019

    • 著者名/発表者名
      A.Mitsuishi and T. Yamaguchi
    • 雑誌名

      J. Geometric Analysis

      巻: 印刷中

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Good coverings of Alexandrov spaces2019

    • 著者名/発表者名
      A.Mitsuishi and T. Yamaguchi
    • 雑誌名

      Trans. AMS

      巻: 印刷中

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Obtuse constants of Alexandrov spaces2019

    • 著者名/発表者名
      A.Mitsuishi and T. Yamaguchi
    • 雑誌名

      J. Math. Soc. Japan

      巻: 印刷中

    • NAID

      130007733314

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Lipschitz Homotopy Convergence of Alexandrov Spaces,2018

    • 著者名/発表者名
      Ayato Mitsuishi and Takao Yamaguchi,
    • 雑誌名

      Journal of Geometric Analysis

      巻: 1 号: 3 ページ: 1-1

    • DOI

      10.1007/s12220-018-0075-6

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Short-time behavior of the heat kernel and Weyl's law on RCD^*(K, N) spaces2018

    • 著者名/発表者名
      L. Ambrosio, S. Honda and D.Tewodrose
    • 雑誌名

      Ann. Global Anal. Geom.

      巻: 53

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Continuity of nonlinear eigenvalues in CD(K, ∞) spaces with respect to measured Gromov-Hausdorff convergence2018

    • 著者名/発表者名
      L. Ambrosio, S. Honda and J. W. Portegies
    • 雑誌名

      Calc. Var. Partial Differential Equations

      巻: 57

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] 固有関数による球面の特徴付け2021

    • 著者名/発表者名
      本多正平
    • 学会等名
      リーマン幾何と幾何解析
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] A new sphere theorem via the eigenmap2020

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      Geometric Measure Theory and Geometric Analysis in Moscow
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A new sphere theorem via the eigenmap2020

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      2020 Virtual Workshop on Ricci and Scalar Curvature
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Ellipsoids converge to Gaussian spaces2020

    • 著者名/発表者名
      Takashi Shioya
    • 学会等名
      Geometric Measure Theory and Geometric Analysis in Moscow
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Graph manifolds as ends of negatively curved Riemannian manifolds2020

    • 著者名/発表者名
      Takashi Shioya
    • 学会等名
      Curvature and Topology of Spaces
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Convergence and collapsing of spaces with boundary2019

    • 著者名/発表者名
      Takao Yamaguchi
    • 学会等名
      Curvature and Topology of Spaces
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Limit spaces of Riemannian manifolds with boundary2019

    • 著者名/発表者名
      Takao Yamaguchi
    • 学会等名
      The 5th Japan-China Geometry Conference
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Embedding of RCD(K, N) spaces in L2 via eigenfunctions2019

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      Optimal transport and Geometric Analysis
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Non-collapsed/collapsed Gromov-Hausdorff limit spaces, synthetic treatment of Ricci curvature, and relation to complex geometry I, II2019

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 学会等名
      The 25th Symposium on Complex Geometry
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Collapsing Riemannian manifolds with boundary2018

    • 著者名/発表者名
      T. Yamaguchi
    • 学会等名
      The 6th German-Japan University Presidents Conference
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Isoperimetric rigidityand distributions of 1-Lipschitz functions2018

    • 著者名/発表者名
      T.Shioya
    • 学会等名
      The 4th Japan-China Geometry Conference
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Weyl’s law on metricsure spaces with Ricci bounds from below2018

    • 著者名/発表者名
      S. Honda
    • 学会等名
      belowGeometric Analysis Seminar, Tshinghua University
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Geometric analysis on metric measure spaces with uniform Ricci bounds from below2018

    • 著者名/発表者名
      S. Honda
    • 学会等名
      The 12th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential equations and Applications
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Ricci曲率が下に有界な特異空間上の幾何解析2018

    • 著者名/発表者名
      S. Honda
    • 学会等名
      018年度日本数学会幾何学賞受賞特別講演, 岡山大学
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Embedding of $RCD^*(K, N)$ spaces in $L^2$ via eigenfunctions2018

    • 著者名/発表者名
      S. Honda
    • 学会等名
      Optimal Transport and Applications, Scuola Normale Superiore
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [図書] Elliptic PDEs on Compact Ricci Limit Spaces and Applications2018

    • 著者名/発表者名
      Shouhei Honda
    • 総ページ数
      104
    • 出版者
      AMS
    • ISBN
      9781470444174
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書

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公開日: 2018-04-23   更新日: 2023-01-30  

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