非線形分散型方程式のエネルギー集約と大域構造に関する研究

• 研究課題/領域番号: 18H01129
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12020:数理解析学関連
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 高岡 秀夫 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10322794)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2023-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2023年度)
• 配分額: 10,140千円 (直接経費: 7,800千円、間接経費: 2,340千円); 2022年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円); 2021年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円); 2020年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円); 2019年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円); 2018年度: 2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
• キーワード: 分散型方程式 / 初期値問題 / 適切性 / 大域挙動 / 無限円柱領域 / 非線形 / 適切生 / 分散型 / 解析学

研究成果の概要

非線形性による波動の集約性と分散性による波動の変調性とが生み出す波動現象を記述する非線形分散型方程式，特に非線形シュレディンガー方程式とKdV方程式について，大域解の存在，大域挙動に関する研究を行った．非線形シュレディンガー方程式については，微分型を代表とする非線形項を考え，相互作用における共鳴・非共鳴構造を考察し，解の集約性を特徴の成果により解の波数エネルギーが転換される現象を示した．KdV方程式については，双線形評価式による研究のもとに，KdV方程式の平滑効果，およびKdV方程式を2次元に拡張したZakharov-Kuznetsov方程式に対する大域可解性を示した．

研究成果の学術的意義や社会的意義

ハミルトニアンに対応したエネルギー保存空間は，ハミルトニアンが意味をもつ空間として意味があり，その関数空間における解の大域存在，大域挙動に関する研究は多い．また，弱解の一意存在性や正則性に関する解析では，方程式に対してスケール不変である関数空間が重要な役割を果たし，そのような関数空間はエネルギー保存量が有限とは限らない場合が多い．本研究の一つ目の問いは，初期値問題の適切性・非適切性を切り分ける臨界空間はどうかということである．二つ目の問いは，解の大域的な振る舞いをフーリエ空間における波動のエネルギー密度の転換過程で解析できないかということであった．本研究で得られた成果の価値は高いと言える．

研究成果

• [雑誌論文] Global well-posedness for Cauchy problems of Zakharov-Kuznetsov equations on cylindrical spaces (2024)
  • 著者名/発表者名: Osawa Satoshi、Takaoka Hideo
  • 雑誌名: Electronic Journal of Differential Equations 巻: 2024 号: 01-?? ページ: 05-05
  • DOI: 10.58997/ejde.2024.05
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] On the growth of Sobolev norm for the cubic NLS on two dimensional product space (2024)
  • 著者名/発表者名: Takaoka Hideo
  • 雑誌名: Journal of Differential Equations 巻: 394 ページ: 296-319
  • DOI: 10.1016/j.jde.2024.03.016
  • 査読あり
• [雑誌論文] Remarks on blow-up criteria for the derivative nonlinear Schr?dinger equation under the optimal threshold setting (2021)
  • 著者名/発表者名: Takaoka Hideo
  • 雑誌名: Journal of Differential Equations 巻: 291 ページ: 90-109
  • DOI: 10.1016/j.jde.2021.05.003
  • 査読あり
• [雑誌論文] Energy transfer model and large periodic boundary value problem for the quintic NLS (2018)
  • 著者名/発表者名: Hideo Takaoka
  • 雑誌名: 数理解析研究所講究緑 巻: 2093 ページ: 94-103
• [学会発表] Bilinear Strichartz estimates for dispersive equations on the torus (2023)
  • 著者名/発表者名: Hideo Takaoka
  • 学会等名: Geometric Analysis in Har- monic Analysis and PDE
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Bilinear Strichartz estimates for the KdV equation (2022)
  • 著者名/発表者名: Hideo Takaoka
  • 学会等名: Mathematical Analysis of Nonlinear Dis- persive and Wave Equations
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Energy cascades for resonant nonlinear Schrodinger equations (2019)
  • 著者名/発表者名: 高岡秀夫
  • 学会等名: 神楽坂解析セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Energy cascades for resonant nonlinear Schrodinger equations (2019)
  • 著者名/発表者名: Hideo Takaoka
  • 学会等名: Nonlinear Dispersive Equations in Kumamoto, 2019
  • 招待講演
• [学会発表] Energy cascades for resonant nonlinear Schrodinger equations (2019)
  • 著者名/発表者名: Hideo Takaoka
  • 学会等名: 九州関数方程式セミナー
  • 招待講演
• [備考] 高岡研究室ホームページ
  • URL: http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/takaoka/index.htm
• [学会・シンポジウム開催] 調和解析と非線型偏微分方程式 (2019)
• [学会・シンポジウム開催] Harmonic Analysis and Partial Differential Equations (2018)