| 研究実績の概要 |
2019年度の研究により, 次の 3 点の成果が得られた. 1.) 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系に対する適切性及び時間減衰評価の確立. 2.) Hardy-Henon 型半線形熱方程式に対する臨界 Besov 空間における時間大域可解性. 3.) Hardy-Sobolev 臨界指数をもつ Hardy-Henon 型半線形熱方程式に対する解の大域的ダイナミクス.
1.) においては, 二層流体の相転移を記述する圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系を臨界 Besov 空間において考察し, 時間大域可解性を示した. 特に, capillary tensor が存在しない通常の圧縮性粘性流体と異なり, 音速が零となる時も対応する線形化方程式が安定であり, 非線形問題に対しても小さな時間大域解が構成できることを明らかにした. 更に, 初期値に追加的な可積分性を課すことで最適な時間減衰評価を示した.
2.) においては, Besov 空間における一般的な冪乗型関数における合成関数の評価を確立し, Hardy-Henon 型半線形熱方程式に対して, 既存の適切性が成立する関数空間を拡張した. また, 臨界 Besov 空間の端点補完指数を取ることにより, 小さな前方自己相似解が構成を行った.
3.) Hardy-Sobolev 臨界指数をもつ非線形項に対して, 対応する初期値問題の解をエネルギー空間において構成した. また, 基底状態以下のエネルギーを持つ初期値に対して, 一意的な大域解のエネルギーがゼロに減衰するか, 有限時間または無限時間で爆発する場合の必要十分条件を考察した. 得られた結果は現在査読付き論文雑誌へ投稿準備中である.
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