| 研究課題/領域番号 |
18K03270
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
二木 昭人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (90143247)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2019年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2018年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 体積最小原理 / アインシュタイン・マックスウェル・ケーラー計量 / ケーラー・リッチソリトン / 佐々木・アインシュタイン計量 / K安定性 / スカラー曲率一定ケーラー計量 / ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想 / アインシュタイン・マックスウェル方程式 / スカラー曲率一定ケーラー 計量 |
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| 研究実績の概要 |
アインシュタイン・マックスウェル方程式は4次元一般相対性理論において研究されていたが，コンパクトケーラー曲面 (M,g) において，正値の滑らかな関数 f が J grad f は正則キリングベクトル場であり， h = f^{-2}g はスカラー曲率一定計量であるなら， h はアインシタイン・マクウスウェル方程式の解に対応することが示される．このような解 h を共形的ケーラー，アインシュタイン・マックスウェル計量という．共形的ケーラー，アインシュタイン・マックスウェル計量の定義は A. Lahdili により weight 付きスカラー曲率一定計量と呼ばれる一般的な定式化がなされている．特に Fano 多様体の場合はリッチ・ソリトン，満渕ソリトン，佐々木・アインシュタイン計量など重要な例を豊富に含む貴重な概念である．本年度は複素構造の変形のもとでの複素微分幾何の基礎づけを行い，その weight 付きソリトンへの応用を研究した．特筆すべき副産物として，微分形式に対する Hodge ラプラシアンの固有値の興味深い評価を得た．この結果を用いてケーラー形式が複素構造の変形下でケーラー形式であり続けることがわかる．その状況でのリッチ形式も明示的に与えることができる．このことを用いると weight 付きソリトンを持つ Fano 多様体の変形は二木不変量が消えることがわかる．
また，研究集会 Tsinghua-Tokyo workshop on Calabi-Yau を山梨県富士研修所で開催した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Fano 多様体上の weight 付きソリトンが，複素構造の変形のもとで保たれるための必要十分条件を得た．このために，変形理論における複素微分幾何的側面に関する新しい知見を得た．
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| 今後の研究の推進方策 |
正則ベクトル束におけるエルミート・アインシュタイン計量，ケーラー多様体におけるスカラー曲率一定計量など複素幾何における非線形問題はモーメント写像に付随する幾何学的不変式論の安定性により特徴づけられる．これらの包括的な定式化を今後の目標とする．
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