| 研究実績の概要 |
複素多様体上の正則曲線, およびそれに関連する対象に関する研究を行った。特に, 複素曲面上の特異な正則曲線について, それがsemiregularという条件を満たす場合に, 古典的なKodaira-Spencerの変形理論における結果を拡張し, 変形の障害を局所的な計算により求める手法を開発した。また, 高次元複素多様体上の超曲面に対しても同様の結果を示した。また, 複素多様体と, その部分多様体の対の変形の場合にも拡張し, 変動的Hodge予想や, d-demistabilityと呼ばれる条件との関連を調べた。これらの手法の応用として, 長年未解決であったアーベル曲面上の正則曲線と, 実2次元トーラス上のトロピカル曲線の間の対応を証明した。一方, 2次元複素トーラス上のゲージ理論を調べることにより, 複素トーラス上のHermitian-Yang-Mills接続の極限として, ミラートーラス上のラグランジアン部分多様体が自然に対応することを証明した。特に, 接続を考えるベクトル束の1次のチャーン類が0である場合には, 対応するラグランジアン部分多様体はspecialと呼ばれるクラスであることを示し, D-braneに関するミラー対称性予想の一部を証明した。そのほか, 区分線型ベクトル場の積分としてよい性質を持つ定義を発見し, それを用いて離散モース理論を区分線型ベクトル場の積分曲線を用いることで実現する, あるいは一般の複素曲面上の特異な正則曲線が, 種数を保つ変形を持つための十分条件を求めるなどの成果を得た。
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