簡約リー群及びリー代数の誘導表現の研究

• 研究課題/領域番号: 18K03322
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 松本 久義 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50272597)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2023-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2022年度)
• 配分額: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円); 2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2019年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2018年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
• キーワード: 一般化バルマ加群 / 半単純リー代数 / ユニタリ表現 / 微分不変量 / 放物型部分代数 / リー代数 / 旗多様体 / 微分不変式 / 簡約リー代数 / 簡約リー群 / 放物幾何 / Whittakerモデル / 一般化Verma加群

研究成果の概要

g を複素簡約リー代数、ｐをその放物型部分代数とし V_1, V_2 をpの有限次元既約表現とする。M_1, M_2 をそれぞれ V_1, V_2からgへの誘導表現（つまり一般化バルマ加群）としたときM_1からM_2への準同型の空間の次元がV_1の次元とV_2の次元の積で上から抑えられることを示した。この評価は V_1, V_2を定める一般化バルマ加群のパラメーターに依存しているが、移送原理など既存の一般論を組み合わせると特定の有限個のパラメータを参照すればよく、任意の一般化バルマ加群の間の準同型のなす空間の次元の(g, p)のみに依存する上からの評価が得られる。

研究成果の学術的意義や社会的意義

表現論は対称性を研究する学問であり数学並びに自然科学の多くの分野へ応用がある。
連続的な対称性はリー群という数学的対象で記述でき,簡約リー群は対称性に置いて非可換な本質的な部分を担っている基本的な対象である。簡約リー代数は簡約リー群の局所的な構造を記述する代数的対象であり、簡約リー群や簡約リー代数の表現論は数学のみならず物理学や化学などに置いて多くの応用を持つ現代数学における大きな分野を形作っている。一般化されたVerma加群の間の準同型の分類はその中で現れた自然な問題であり、表現論内部だけでなく放物幾何などに置いても重要な意味を持つ。

研究成果

• [学会発表] 一般化バルマ加群をめぐって (2021)
  • 著者名/発表者名: 松本久義
  • 学会等名: 表現論シンポジウム
  • 招待講演
• [学会発表] On the homomorphisms between scalar generalized Verma modules for complex simple Lie algebras of type B and C (2019)
  • 著者名/発表者名: Hisayosi Matumoto
  • 学会等名: International Symposium on“ Advances and Perspectives in Representation Theory ”
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On homomorphisms between scalar generalized Verma modules for complex simple Lie algebras of type B and C (2019)
  • 著者名/発表者名: Hisayosi MATUMOTO
  • 学会等名: Representation theory of reductive Lie groups and algebras
  • 国際学会 / 招待講演