| 研究課題/領域番号 |
18K03348
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 愛知工業大学 |
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研究代表者 |
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2018年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 複素解析 / リーマン面 / クライン面 / モジュライ空間 / タイヒミュラー空間 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題では、閉リーマン面及び閉クライン面のそれぞれのモジュライ空間の上で定義された最大単射半径関数を研究する。この関数は、各閉リーマン面（または閉クライン面）に対してこの面上の各点に定まる単射半径のうちの最大値を対応させるものである。モジュライ空間におけるこの関数の最大値を与える曲面を極値的リーマン面（またはクライン面）と呼ぶ。最大単射半径関数は、モジュライ空間の被覆空間であるタイヒミュラー空間上の関数に持ち上げられ、この空間において解析を実行する。本年度は、向き付け不可能な曲面である種数３の極値的クライン面を考察した。この曲面は同型を除いて全部で11種類存在している。この曲面を閉クライン面のモジュライ空間ではなく、閉リーマン面のモジュライ空間に関連付けて研究を行った。この極値的クライン面の複素ダブルを取ることにより、種数２の閉リーマン面を構成し、そのフックス群の基本領域を双曲18角形として得ることができた。これは極値的リーマン面にはならない対称リーマン面である。対称リーマン面を研究するアプローチの１つとして代数方程式があり、代数方程式による記述は既に知られている。今回対象としている種数３の極値的クライン面の全自己同型群の構造は既に得られているため、この群構造と曲面の位相的情報からこの対称リーマン面を表す代数方程式が３つのパラメーターを含む形で表現されることが判明した。また、この対称リーマン面に対して全部で６個存在するワイエルシュトラス点の位置を確定することができた。このワイエルシュトラス点の情報を用いて双曲８角形である標準多角形を構成し、種数２の閉リーマン面のタイヒミュラー空間における座標を調べることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
昨年度まではCOVID-19の影響のため、計画通りに研究を遂行することは難しい状況であったが、本年度は研究成果発表・研究打合せのための国内出張を何件か行うことができた。研究分野を同じくする研究者との対面による議論をすることは大変有益であったため、研究を進めることができた。進捗状況は次の通りである。１．11種類存在する種数３の極値的クラインに対して、複素ダブルである種数２の対称リーマン面を構成し、そのフックス群の基本領域である双曲18角形を得ることができた。２．複素ダブルで得られた11種類の対称リーマン面に対して、ワイエルシュトラス点の位置を確定することができた。３．複素ダブルで得られた対称リーマン面の１つに対して、種数２の閉リーマン面のタイヒミュラー空間における座標を計算することができた。これにより最大単射半径関数の値を評価する曲面の例を増やすことができた。４．複素ダブルで得られた対称リーマン面の代数方程式が３つのパラメーターを用いて記述できることが判明した。５．種数２の閉リーマン面のタイヒミュラー空間上の最大単射半径関数を７変数で記述する問題については継続中である。また、種数３の閉クライン面のタイヒミュラー空間上の最大単射半径関数についても次年度に解決したい。このように、進展した部分もあるが、いくつかの問題は継続のまま本年度を終えることとなった。これらの状況により、進捗状況はやや遅れていると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度に得られた閉リーマン面及び閉クライン面の研究成果を踏まえて、最大単射半径関数の研究を着実に進めていく。特に、種数２の閉リーマン面に対する最大単射半径関数を７変数で表現することを目指していく。この表現にはフックス群の有限個の生成元に対する多くの基本領域の情報が必要なため、コンピュータを活用する。この他に、写像類群のタイヒミュラー空間への作用を調べるために、標準双曲多角形によるタイヒミュラー空間のモデルを採用し、これまでに構成した２元生成部分群の作用の性質を調べていく。ここでもコンピュータによる計算を実施していく計画である。これまでと同様に研究手法を豊かにするために、リーマン面・双曲幾何に関連した文献を随時購入して研究を推進していく。また、他の研究者との議論は研究遂行において重要なため、国内外での研究打合せ・セミナーを行い、有益な研究集会には積極的に参加していく。次年度はスペインのマドリッドで開催される研究集会に参加して研究成果発表を行い、海外研究者と議論することで研究を推進する予定である。
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