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エネルギー交差に現れるスペクトル・散乱の準古典解析

研究課題

研究課題/領域番号 18K03349
研究種目

基盤研究(C)

配分区分基金
応募区分一般
審査区分 小区分12010:基礎解析学関連
研究機関立命館大学

研究代表者

渡部 拓也  立命館大学, 理工学部, 准教授 (80458009)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2021-03-31
研究課題ステータス 交付 (2019年度)
配分額 *注記
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2018年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
キーワードエネルギー交差 / 量子共鳴(レゾナンス) / 遷移確率 / 準古典解析 / 超局所解析 / WKB解析 / レゾナンス / 完全WKB解析 / 準古典超局所解析
研究実績の概要

本研究課題の主要な2つのテーマ:「エネルギー交差に係わる量子共鳴の準古典分布」及び「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」について、それぞれ、前者は藤家氏(立命館大学)Martinez氏(ボローニャ大学)、また後者はZerzeri氏(パリ13大学)と取り組み、昨年度の段階で得られつつあった結果を、論文として纏め、学術雑誌に投稿するに至った。
前者については、我々の先行研究の手法を適用するだけでなく、その手法だけでは不十分な部分を超局所解析的手法を新たに援用することで、解決した。一般に量子共鳴は、シュレディンガー作用素に対応する古典軌道のなす捕捉軌道によって特徴付けられるが、この研究では、連立系ならではの"擬捕捉軌道"といったもので特徴付けられることを明らかにした。また、上記の手法を、一般の擬微分作用素の枠組みで整理し直し、Proceedingsとして投稿した。
後者については、連立の時間依存シュレディンガー方程式の常微分版について、断熱パラメータのみならず、擬交差のギャップも小さなパラメータとした2パラメータ問題を考察した。遷移確率の断熱極限には、既存の結果が多く知られているが、2パラメータ問題として、断熱極限が破綻するほど擬交差のギャップが小さい場合の問題については未解決部分が多く、この研究では複数回擬交差が起こる場合の遷移確率について、ひとつの結果に至った。
また、帯状領域に制限された磁場付きシュレディンガー作用素の固有値の教磁場極限下における漸近挙動について、Dimassi氏(ボルドー大学)と取り組み、結果を得つつある。
さらには、特性指数が空間依存するようなあるフックス型偏微分方程式の特異初期値問題について、浦部氏(同志社大学)と取り組み、こちらも部分的な結果を得つつある。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

おおむね順調に進展していると評価した理由は、本研究課題の主要な2つのテーマ:「エネルギー交差に係わる量子共鳴の準古典分布」及び「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」について、それぞれ結果を得ることに成功し、特に昨年度は、様々な学会や研究集会において、その研究成果を発表する機会が得られたことである。
前者は、パリのポアンカレ研究所で行われた研究会や金沢大学で開催された日本数学会の函数方程式分科会の特別講演で発表し、また後者については、パリ13大学のセミナーや数理解析研究所での研究集会で発表した。
さらに、これらの研究結果は、新たな問題を提示し、その研究に係わっていくつかのプロジェクトが進行しつつある。前者関しては、共同研究者の藤家氏とAssal氏が、2重井戸に対応する2つの対称な単井戸ポテンシャルをもつ連立のシュレディンガー作用素を考え、固有値の分裂現象を解析した。これに触発され、いくつかの問題に取り組みつつある。また後者に関しては、擬交差のギャップが断熱極限が破綻するほど小さい場合の問題が解決に至ったことから、その手法を援用することで、変わり点の合流問題に向けた研究に取り組みつつある。
双方のテーマについて、研究課題として当初掲げていた課題をクリアし、次のフェーズに移行していることから、上記の評価に十分値する。

今後の研究の推進方策

まず、擬交差における遷移確率の断熱極限については、変わり点の合流問題の視点から、いくつかの問題に取り組む。ひとつは、現状未解決となっている退化した擬交差(接触交差)場合について考察する。これには、藤家-Mrtinez-渡部の「エネルギー交差に係わる量子共鳴の準古典分布」の研究で確立された手法が適用できる見通しがある。この研究により、4つの変わり点の合流過程に、より多くの自由度を与えたモデルを考察することが可能になるため、この問題をゴールに見据えて、研究に取り組む。
藤家-Assalの二重井戸に対応する連立のシュレディンガー作用素の固有値の分裂現象の結果を踏まえ、三重井戸に相当するポテンシャル構造をもつ連立のシュレデインガー作用素の固有値の研究に取り組む。単井戸の固有値と二重井戸の固有値との分裂現象については、どちらが支配的なのかなど、非常に興味深い問題を多く含む。これらについて、ベンチマークとなる三重井戸をもつ単独のシュレディンガー作用素の固有値問題を再考するところから研究を始める。
また、解決に至りつつある「帯状領域に制限された磁場付きシュレディンガー作用素の固有値の教磁場極限下における漸近挙動」の問題や、「特性指数が空間依存するようなあるフックス型偏微分方程式の特異初期値問題」について、論文に纏め、学術雑誌への投稿を目標とする。

報告書

(2件)
  • 2019 実施状況報告書
  • 2018 実施状況報告書

研究成果

(19件)

すべて 2019 2018 その他

すべて 国際共同研究 学会発表 備考 学会・シンポジウム開催

  • [国際共同研究] ボローニャ大学(イタリア)

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [国際共同研究] パリ13大学/ボルドー大学(フランス)

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [国際共同研究] ボローニャ大学(イタリア)

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
  • [国際共同研究] パリ13大学/ボルドー大学(フランス)

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
  • [学会発表] Widths of resonances above an energy-level crossing2019

    • 著者名/発表者名
      Takuya WATANABE
    • 学会等名
      Seminaire: Problemes Spectraux en Physique Mathematique
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Semiclassical approach to a generalization of the Landau-Zener formula.2019

    • 著者名/発表者名
      Takuya WATANABE
    • 学会等名
      Groupe de travail Analyse semi-classique & Physique mathematique
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] エネルギー交差の上位準位におけるレゾナンスの準古典分布2019

    • 著者名/発表者名
      渡部 拓也
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Width of semiclassical resonances above an energy level crossing2019

    • 著者名/発表者名
      渡部 拓也
    • 学会等名
      第11回 名古屋微分方程式研究集会
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Width of semiclassical resonances above an energy level crossing2019

    • 著者名/発表者名
      Takuya Watanabe
    • 学会等名
      Himeji Conference on Partial Differential Equations
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 国際共著/国際学会である / 招待講演
  • [学会発表] Semiclassical distribution of resonances associated with an energy-level crossing2019

    • 著者名/発表者名
      渡部 拓也
    • 学会等名
      HMA セミナー・冬の研究会 2019
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Semiclassical distribution of resonances associated with an energy-level crossing2018

    • 著者名/発表者名
      渡部 拓也
    • 学会等名
      研究集会 第1回 解析学の壺
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Two-level transition problem for avoided crossings in a non-adiabatic regime2018

    • 著者名/発表者名
      Takuya Watanabe
    • 学会等名
      Mini Workshop on WKB Analysis and Singularity Theory
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [備考] Quantum Resonances and Related Topics

    • URL

      https://qrrt2019.sciencesconf.org/

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [備考] スペクトル・散乱理論とその周辺

    • URL

      http://www.math.ritsumei.ac.jp/takuwatanabe/rims2019/index.html

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [備考] 偏微分方程式姫路研究集会

    • URL

      http://www.math.ritsumei.ac.jp/takuwatanabe/CHPDE/CPDE.html

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [備考] 偏微分方程式姫路研究集会

    • URL

      http://www.math.ritsumei.ac.jp/takuwatanabe/CHPDE/CPDEen.html

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
  • [学会・シンポジウム開催] Quantum Resonances and Related Topics2019

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [学会・シンポジウム開催] Spectral and Scattering Theory and Related Topics2019

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [学会・シンポジウム開催] Himeji Conference on Partial Differential Equations2019

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書

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公開日: 2018-04-23   更新日: 2021-01-27  

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