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高次元線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解

研究課題

研究課題/領域番号 18K13404
研究種目

若手研究

配分区分基金
審査区分 小区分11020:幾何学関連
研究機関東京大学

研究代表者

北山 貴裕  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10700057)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2018年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
キーワード3次元多様体 / 位相不変量 / 表現 / 交叉形式 / 離散群
研究実績の概要

高次元線形表現のモジュライ空間の幾何学の低次元トポロジーへの応用を基礎付け、当研究領域を育成することを目的として研究を行った。当該年度は、基本群の表現に付随する位相不変量の新しい応用として、特に、ねじれBlanchfield形式を用いてホモトピーリボンコンコーダンスと呼ばれる結び目の間の特別なコンコーダント関係を研究した。
Gilmerによって、結び目から結び目への滑らかなリボンコンコーダンスが存在するならば、最初の結び目のAlexander加群のある部分加群が存在して、その直交部分加群の当部分加群による商へのBlanchfield形式の制限が、もう一方の結び目のBlanchfield形式と等長になることが知られていた。Stefan Friedl氏、Lukas Lewark氏、Matthias Nagel氏、Mark Powell氏との共同研究において、この結果が滑らかなリボンコンコーダンスではなくホモトピーリボンコンコーダンスの存在へと仮定を弱めても成り立つことを示した。更に、これに基づいて、結び目に沿った二重分岐被覆空間のホモロジー群やLevine-Tristram符号関数に関する、ホモトピーリボンコンコーダンスが存在するための必要条件を与えた。
なお、2019年度から2022年度まで本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」(18KK0380)を実施した。新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、特に出張を伴う研究活動が大きく制限されたが、ドイツ・レーゲンスブルク大学のStefan Friedl氏を主な共同研究者として、国際共同研究を進展させた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

新たな方向への研究の展開として、ねじれ交叉形式及びねじれBlanchfield形式に着目した、基本群の表現に付随する不変量の4次元トポロジーへの応用研究が着実に進展した。本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」(18KK0380)の完了を経て、当研究課題から本研究課題への大きな寄与があった。
新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、出張を伴う研究活動が大きく制限されたため、補助事業期間の再延長を行った。

今後の研究の推進方策

ドイツのレーゲンスブルク大学に研究滞在し、本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」(18KK0380)の共同研究者でもある、Stefan Friedl氏と密接な研究打ち合わせを行う予定である。当課題で得られた成果の本研究への更なる寄与についても模索する。また、本研究のテーマに基づいたセミナーを企画し、研究領域の育成・発展を図る。これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心掛け、研究を更に深める。

報告書

(6件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 2021 実施状況報告書
  • 2020 実施状況報告書
  • 2019 実施状況報告書
  • 2018 実施状況報告書
  • 研究成果

    (34件)

すべて 2024 2022 2021 2020 2019 2018 2017 その他

すべて 国際共同研究 (14件) 雑誌論文 (6件) (うち国際共著 3件、 査読あり 6件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (12件) (うち国際学会 7件、 招待講演 12件) 備考 (1件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [国際共同研究] University of Regensburg(ドイツ)

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [国際共同研究] ETH Zuerich(スイス)

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [国際共同研究] Durham University(英国)

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [国際共同研究] University of Regensburg(ドイツ)

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [国際共同研究] University of Regensburg(ドイツ)

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [国際共同研究] ETH Zuerich(スイス)

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [国際共同研究] Durham University(英国)

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [国際共同研究] University of Regensburg(ドイツ)

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
  • [国際共同研究] University of Regensburg(ドイツ)

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [国際共同研究] ETH Zuerich(スイス)

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [国際共同研究] Durham University(英国)

    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [国際共同研究] University of Regensburg(ドイツ)

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
  • [国際共同研究] Korea Institute for Advanced Study(韓国)

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
  • [国際共同研究] University of Oxford(英国)

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
  • [雑誌論文] A survey of the Thurston norm2022

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 雑誌名

      In the Tradition of Thurston II

      巻: - ページ: 149-199

    • DOI

      10.1007/978-3-030-97560-9_5

    • ISBN
      9783030975593, 9783030975609
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On Adjoint Homological Selmer Modules for SL2-Representations of Knot Groups2022

    • 著者名/発表者名
      Kitayama Takahiro、Morishita Masanori、Tange Ryoto、Terashima Yuji
    • 雑誌名

      International Mathematics Research Notices

      巻: 255 号: 23 ページ: 19801-19826

    • DOI

      10.1093/imrn/rnac255

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Homotopy ribbon concordance, Blanchfield pairings, and twisted Alexander polynomials2021

    • 著者名/発表者名
      Friedl Stefan、Kitayama Takahiro、Lewark Lukas、Nagel Matthias、Powell Mark
    • 雑誌名

      Canadian Journal of Mathematics

      巻: - 号: 4 ページ: 1-40

    • DOI

      10.4153/s0008414x21000183

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Character varieties of higher dimensional representations and splittings of 3-manifolds2021

    • 著者名/発表者名
      Hara Takashi、Kitayama Takahiro
    • 雑誌名

      Geometriae Dedicata

      巻: ー 号: 1 ページ: 433-466

    • DOI

      10.1007/s10711-020-00590-y

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Representation varieties detect essential surfaces2018

    • 著者名/発表者名
      Friedl Stefan, Kitayama Takahiro and Nagel Matthias
    • 雑誌名

      Mathematical Research Letters

      巻: 25 号: 3 ページ: 803-817

    • DOI

      10.4310/mrl.2018.v25.n3.a4

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] On certain $L$-functions for deformations of knot group representations2017

    • 著者名/発表者名
      Kitayama Takahiro、Morishita Masanori、Tange Ryoto、Terashima Yuji
    • 雑誌名

      Transactions of the American Mathematical Society

      巻: 370 号: 5 ページ: 3171-3195

    • DOI

      10.1090/tran/7037

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [学会発表] Thurston norm, twisted Euler characteristics and virtual fibering2024

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      The 19th Kagoshima Algebra-Analysis-Geometry Seminar
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Blanchfield pairings and Gordian distance2024

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      Knot theory, LMO invariants and related topics
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Torsion polynomial functions and essential surfaces2022

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      Se'minaire GT3, Institut de Recherche Mathe'matique Avance'e
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] リボンコンコーダンスとねじれAlexander多項式2021

    • 著者名/発表者名
      北山貴裕
    • 学会等名
      N-KOOKセミナー
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Ribbon concordance and twisted Alexander polynomials2021

    • 著者名/発表者名
      北山貴裕
    • 学会等名
      トポロジーとコンピュータ 2021
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Representations of fundamental groups and 3-manifold topology2020

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      理化学研究所数理創造プログラム数学セミナー
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Character varieties and essential surfaces2019

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      Low-Dimensional Topology Workshop 2019
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Twisted Alexander polynomials and L^2-Euler characteristics2019

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      Global Analysis Seminar, University of Regensburg
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Character varieties and essential surfaces2019

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      The 14th East Asian Conference on Geometric Topology
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] トーション多項式関数と3次元多様体の分解について2018

    • 著者名/発表者名
      北山貴裕
    • 学会等名
      東京電機大学数学講演会
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] 線形表現のなす空間と3次元多様体内の曲面について2018

    • 著者名/発表者名
      北山貴裕
    • 学会等名
      空間の代数的・幾何的モデルとその周辺
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Twisted Alexander polynomials and L^2-Euler characteristics2018

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      New development of low-dimensional topology
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] 北山研究室ホームページ

    • URL

      https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kitayama/index_j.html

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書 2022 実施状況報告書 2021 実施状況報告書 2019 実施状況報告書 2018 実施状況報告書
  • [学会・シンポジウム開催] Seoul-Tokyo Conference in Mathematics2018

    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書

URL: 

公開日: 2018-04-23   更新日: 2024-12-25  

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