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リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究

研究課題

研究課題/領域番号 18K13411
研究種目

若手研究

配分区分基金
審査区分 小区分11020:幾何学関連
研究機関広島大学 (2022-2023)
明治大学 (2018-2021)

研究代表者

古賀 勇  広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 研究員 (60782232)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2018年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
キーワード調和写像 / ゲージ理論 / モジュライ / 同変写像 / 複素グラスマン多様体 / 四元数射影空間 / 3次元球面 / 同変調和写像 / 同変正則写像 / 表現論 / ベクトル束 / 正則写像 / 部分多様体 / 正則ベクトル束 / 調和解析 / 正則等長写像 / 等質ベクトル束 / グラスマン多様体
研究実績の概要

複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU非同変な正則写像の構成に困難があったため,同変性やその他条件を加えた場合の調和写像のモジュライの構成理論について考察を行い,以下の結果を得た.
(1)前年度得ていた複素射影空間から四元数射影空間へのSU同変調和写像の分類について,表現空間に定まる四元数構造についての考察がさらに必要だったことがわかったのでそれを修正した.本結果は現在投稿中である.
(2)3次元球面から複素射影空間への全実調和写像のモジュライの構成問題に前年度に引き続き取り組んだ.先行研究でLiによってAbsolutely realという概念が定義され,Not absolutely realな全実調和写像は部分的な構成にとどまっていた.今年度私は長友康行氏(明治大学)との共同研究により,一般の全実調和写像のモジュライを構成した.またその特別な場合としてAbsolutely realな全実調和写像のモジュライも求め,さらにSU(2)×SU(2)同変調和写像,SU(2)同変調和写像のモジュライも一般の全実調和写像のモジュライの部分集合として得られることがわかった.本結果は現在投稿中である.
(3)複素射影空間から複素射影空間へのSp同変調和写像のモジュライを構成した.先行研究としてKobayashiがSp既約表現空間から得られる複素射影空間への同変調和写像のエネルギー密度関数を求めていたが,本研究でそれらが複素射影空間上の正則直線束のラプラシアンの固有値と一致すること,そしてラプラシアンの固有空間のSp既約分解とまさに対応することが確認できた.これらの結果を用いてSp同変調和写像のモジュライを構成し,モジュライの境界にKobayashiの構成した写像が現れることが確認できた.本結果は現在執筆中である.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

当初計画していた複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体への正則等長写像の構成問題は非同変なものを扱うことと等長写像という仮定に困難があったため,当初の計画の通りには進んでいない.一方,ベクトル束の不変接続に関する理解を深めるためにこれまでとは異なる仮定を置いた場合の調和写像のモジュライの構成には成功しており,これらの問題への考察から当初の仮定である等長性を修正することで本課題へのアプローチが可能ではないかというアイディアを得ることができた.
以上の結果から進捗状況は「やや遅れている」とした.

今後の研究の推進方策

正則等長写像ではなくエネルギー密度関数一定な正則写像・調和写像の構成問題について取り組む.そのために(1)標準接続に対応する非同変調和写像の具体例を構成し,(2)SU(2)不変接続に対応する非同変調和写像のモジュライの構成問題に取り組むつもりである.

報告書

(6件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 2021 実施状況報告書
  • 2020 実施状況報告書
  • 2019 実施状況報告書
  • 2018 実施状況報告書
  • 研究成果

    (15件)

すべて 2024 2023 2022 2021 2019

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (14件) (うち国際学会 4件、 招待講演 8件)

  • [雑誌論文] Equivariant holomorphic embeddings from the complex projective line into complex Grassmannian of 2-planes2022

    • 著者名/発表者名
      Isami Koga, Yasuyuki Nagatomo
    • 雑誌名

      Osaka Journal of Mathematics

      巻: 59 ページ: 495-514

    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] 3次元球面から複素射影空間への全実調和写像の分類2024

    • 著者名/発表者名
      古賀勇,長友康行
    • 学会等名
      日本数学会2024年度年会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 複素射影空間から四元数射影空間への同変調和写像2023

    • 著者名/発表者名
      古賀勇,長友康行
    • 学会等名
      日本数学会2023年度秋季総合分科会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Equivariant harmonic immersions of the complex projective line into the complex Grassmannians of two-planes2022

    • 著者名/発表者名
      Isami Koga
    • 学会等名
      Applications of Harmonic Maps and Higgs bundles
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Equivariant harmonic immersions of the complex projective line into the complex Grassmannians of two-planes2022

    • 著者名/発表者名
      Isami Koga
    • 学会等名
      Differential Geometry Workshop2022
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] 複素グラスマン多様体への同変調和写像について2022

    • 著者名/発表者名
      古賀勇
    • 学会等名
      測地線及び関連する諸問題
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Equivariant harmonic immersions of the complex projective line into the comlex Grassmannian of two-planes2022

    • 著者名/発表者名
      Isami Koga
    • 学会等名
      Differential Geometry and Integrable Systems
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 複素射影直線から複素グラスマン多様体への同変調和写像の分類2022

    • 著者名/発表者名
      古賀勇,長友康行
    • 学会等名
      日本数学会2022年度会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] 複素グラスマン多様体への同変調和写像について2021

    • 著者名/発表者名
      古賀勇
    • 学会等名
      東北大学幾何学セミナー
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] ベクトル束と誘導写像2019

    • 著者名/発表者名
      古賀勇
    • 学会等名
      測地線及び関連する諸問題
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] 複素射影空間上のベクトル束と誘導者像について2019

    • 著者名/発表者名
      古賀勇
    • 学会等名
      第66回幾何学シンポジウム
    • 関連する報告書
      2019 実施状況報告書
  • [学会発表] Equivariant minimal isometric immersions from the complex projective line into the complex Grassmannian manifolds of two-planes2019

    • 著者名/発表者名
      Isami Koga
    • 学会等名
      The 2nd International Conference "Geometry of Submanifolds and Integrable Systems"
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 複素射影空間から複素グラスマン多様体への同変正則写像の構成2019

    • 著者名/発表者名
      古賀勇
    • 学会等名
      日本数学会2019年度会
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
  • [学会発表] 複素射影直線から複素グラスマン多様体への同変調和写像の構成と分類2019

    • 著者名/発表者名
      古賀勇
    • 学会等名
      日本数学会2019年度会
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
  • [学会発表] 複素射影空間から複素グラスマン多様体への同変正則写像の構成2019

    • 著者名/発表者名
      古賀勇
    • 学会等名
      測地線及び関連する諸問題
    • 関連する報告書
      2018 実施状況報告書
    • 招待講演

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公開日: 2018-04-23   更新日: 2024-12-25  

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