| 研究分担者 |
高村 博之 東北大学, 理学研究科, 教授 (40241781)
岩渕 司 東北大学, 理学研究科, 准教授 (40634697)
猪奥 倫左 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (50624607)
川島 秀一 早稲田大学, 理工学術院, 教授(任期付) (70144631)
林 仲夫 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30173016)
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
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| 研究開始時の研究の概要 |
非線形偏微分方程式の解の挙動を切り分ける, 臨界現象の数理構造を明らかにするためには臨界拮抗時に発生する桁落ちの特異性を検出・制御する.
桁落ち特異性, すなわち最高次数よりも解析学的に次数の低い, 対数程度の特異性を制御する数学的に有効な技法として実解析、特に実補間が挙げられることはこれまでの申請者らの研究から自然に予想できる. 実補間空間論はこうした対数函数を伴う次数の特異点の制御に相性が良い.
本研究では、非線形偏微分方程式で表される数理モデルに対して、実補間理論を駆使した精密な議論や複素解析学からの技法を援用して、臨界性に隠された桁落ち特異性発生の構造を探る.
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| 研究実績の概要 |
移流拡散方程式の高次元における時間大域的挙動について, 2次モーメントが有限の場合に有限時刻での解の爆発に関する最良と思われる初期条件に対する十分条件を同定し, さらに和久井洋司氏と共に初期2次モーメントが非有界の場合に解が有限時刻で爆発するか, 大域的に存在しても有界にとどまらないことを示した.
連立型移流拡散方程式の解の時間大域的挙動の分類と, 有限時刻での解の爆発と集中現象について単独の場合の類似の現象が起こることを黒木場正城氏, 和久井洋司氏らと共に研究した. 特に解の爆発の十分性にまつわるHardy-Littlewood-Sobolevの不等式の最良定数とSobolevの不等式の最良定数とのずれを指摘し, 300次元にいたるまで両者に差があることを数値的に実証した.
黒木場正城氏と共同で, 高速拡散型のKeller-Segel方程式の有限時間での解の爆発を,Reny型エントロピーに対するshannonの不等式を用いて証明した. これにより従来空間2次元でのみ知られていた有限時刻爆発を空間高次元に拡張できた. また同氏と共同で,高次元 Keller-Segel 方程式系の緩和時間零極限を考察し, Fujita-Katoの原理が成立する最も単純なBochner空間であるLebesgue-Bochner空間において特異極限を考察し, 初期層の発生を認めた上で, 解のパラメータ無限大における漸近収束を, 熱方程式の最大正則性を適法して証明した. この方法は, 若干の修正を施すことにより, 空間2次元においても有効であり, 同様の収束を得ることが可能となる. その際に2次元方程式の正則性の限界から空間方向に有界平均振動のクラスでの最大正則性を援用する.
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