| 研究課題/領域番号 |
19H01779
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20503882)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2020年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2019年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | Donaldson-Thomas不変量 / 連接層の導来圏 / 行列因子化 / 圏論的Donaldson-Thomas理論 / D-臨界的双有理幾何学 / 準BPS圏 / 圏論的壁超え公式 / BPS不変量 / 圏論的Hall代数 / K３曲面 / 圏論的特異点解消 / 正則シンプレクティック多様体 / 導来代数幾何学 / 導来圏 / D-臨界的スキーム / 導来スタック |
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| 研究開始時の研究の概要 |
３次元カラビヤウ多様体上の連接層の導来圏の安定対象のモジュライ空間の幾何構造やそこから定義されるDonaldson-Thomas不変量の性質を明らかにするため、「D-臨界的双有理幾何学」や「圏論的Donaldson-Thomas理論」といった概念を導入し、詳細に調べていく研究計画である。特に圏論的DT理論が安定性条件の変化によってどの様に振る舞うかに焦点を当てて研究し、従来までのDT不変量の壁越え公式の圏論化を与える事を目標とする。
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| 研究成果の概要 |
3次元カラビヤウ多様体上の安定対象のモジュライ空間は、Joyceにより導入されたd-臨界構造を持つ。このd-臨界構造を持つスキームの間の仮想的な双有理変換であるd-臨界的フリップやフロップという概念を導入した。更に数え上げ幾何学で重要となる種々の安定性条件の壁超えに付随してこれら仮想的な双有理変換が生じることを示した。また局所代数曲面の場合にDonaldson-Thomas不変量を圏論化するDT圏の概念を導入し、d-臨界的フリップやフロップに応じてこれらDT圏の間の振舞いを記述するd-臨界的D/K予想を定式化した。更にDT圏の圏論的壁超えに関する種々の性質を証明した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
3次元カラビヤウ多様体上の曲線や安定層を数え上げるDonaldson-Thomas不変量は数学・物理双方にとって重要な研究課題である。従来の研究によって安定性条件の壁超え公式を用いることでそれらの種々の公式が導かれることが知られていた。今回の研究でそれらの公式の背後にある双有理幾何的・表現論的理解を、Donaldson-Thomas不変量を圏論化する「DT圏」と双有理幾何学の仮想版である「D-臨界的双有理幾何学」を確立することで明らかにした。これらは新しい概念であり、今後の更なる発展も期待される。
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