| 研究課題/領域番号 |
19H01787
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
糟谷 久矢 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80712611)
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| 研究分担者 |
後藤 竜司 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
藤野 修 京都大学, 理学研究科, 教授 (60324711)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
16,900千円 (直接経費: 13,000千円、間接経費: 3,900千円)
2023年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2022年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2021年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2020年度: 3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2019年度: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
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| キーワード | 混合ホッジ構造の変動 / 非可換ホッジ理論 / Equivariant正則ベクトル束 / Sullivan minimal model / 佐々木多様体 / ホッジ構造の変動 / canonical計量 / 自由ループ空間 / 非可換ホッジ構造 / Orbifold / Higher Page Hodge理論 / Quasi-Kahler manifold / 混合ホッジ構造 / ケーラー計量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
複素多様体をパラメーターとして複素幾何学的に良い振る舞いをしながら変化する混合ホッジ構造達のことをM上の混合ホッジ構造の変動と呼び、様々な観点から活発に研究されているが、複素多様体Mを固定しその上の混合ホッジ構造の変動の変動全体VMHS(M)についてはあまり多くのことが知られていない。本研究では既存の基点に依存したVMHS(M)の構造理論とは異なる体積形式による"積分"を基礎としたより微分幾何学的なVMHS(M)の構造理論を構築する。
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| 研究実績の概要 |
コンパクトケーラー多様体では純粋なホッジ構造の変動全体に値を取るようなDe Rham-Dolbeault Double Complexにテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造を考え、そのSullivan Minimal ModelのMorganの混合ホッジ構造を用いて構築した非可換混合ホッジ構造を取り出すことができるということが本研究における最重要事実であるが、これをより広いクラスの空間で行えるようになることを目的に本年度では、コンパクトケーラー多様体の自然なアナロジーでありコンパクトケーラー多様体から拡張された様々なクラスと関連するコンパクト佐々木多様体について研究を行った。Indranil Biswas氏と糟谷で共同で行ったコンパクト佐々木多様体上の調和束とHiggs束の理論を用いて, 局所系のテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造において特に重要なFormalityという性質について調べた。一般には佐々木多様体においては半単純局所系に値を取るDe Rham ComplexではFormalityが成立しないが、本研究ではAlmost-FormalityというFormalityにより近い性質を満たすことが示された。これにより５次元以上の佐々木多様体では基本群に関わるテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造（低次の構造)についてはコンパクトケーラー多様体と同様に取り扱えることが見出された。
また、佐々木多様体上で純粋なホッジ構造の変動について理論の構築を行った。コンパクトケーラー多様体において重要であったuniformization型定理の佐々木版を確立することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
特異性のある状況について未だ見通しの良い研究方策を打ち出せていないため。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は多様体上で、ある種の特異性を持った混合ホッジ構造の変動全体の研究を行う。まず特異性のない場合と同様に対応する非可換混合ホッジ構造を取り出すことを目指す。特異性を持った純粋なホッジ構造の変動全体に関して、多様体の特異点を抜いた空間(Open Variery)あるいは特異点の情報を加味したカテゴリー（特にorbifold)上De Rham-Dolbeault Double Complexとして定義されるDifferential Graded Algebraの構造を考えて、そのSullivan Minimal ModelのMorganの混合ホッジ構造を構成する。ここから定まる代数的な混合ホッジ構造の変動モデルからある種の特異性を持った幾何学的な混合ホッジ構造の変動を構成する手法を構築する。
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