| 研究課題/領域番号 |
19H01788
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
鎌田 聖一 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
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| 研究分担者 |
河内 明夫 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (00112524)
金信 泰造 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00152819)
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
安井 弘一 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 准教授 (70547009)
早野 健太 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (20722606)
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 准教授 (90609091)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)
2023年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2022年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2021年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2020年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2019年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | トポロジー / 低次元トポロジー / ４次元 / グラフィクス / 曲面結び目 / 曲面ブレイド / 結び目理論 / 仮想結び目 / ブレイド / カンドル / ４次元トポロジー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
４次元空間内の曲面がなす結び目や４次元トポロジーに現れる現象を図式（グラフィクス）を用いて記述し、それらの対象を分類するための研究手法を整備する。また、カンドル(quandle)と呼ばれる代数は、結び目理論の研究の中で発見されたが、グラフィクスとも相性が良い。曲面結び目のブレイド表示と不変量の構成、曲面の分岐被覆と曲面foldingの持ち上げ問題、（特異）レフシェツ・ファイバー束のモノドロミーのグラフィクス（チャート）表示、３次元ブレイドとtrisection分解、及び仮想結び目などの関連する対象についてグラフィクスとカンドルの観点から研究を行う。
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| 研究成果の概要 |
代数的な構造をグラフィクス（ダイアグラム、図式）を用いて表すことで低次元トポロジーの対象を表示する方法の研究を行なった。いくつかの代数的構造を図式を用いて表すことで、古典次元のブレイドとその高次元化である２次元ブレイド、タングルと結び目・絡み目、３次元空間内の三価グラフ、３次元空間内に埋め込まれた曲面、４次元空間内に埋め込まれた曲面や分岐曲面などを表示し、それらの表示における基本変形がえられる様子がわかる。
結び目の概念を図式の観点から拡張した仮想結び目と捻れ仮想結び目について、それらの新しい不変量を導入し、その性質を明らかにするとともに、従来の研究では得ることができなかった応用を得た。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
４次元空間内に埋め込まれた曲面（曲面結び目）や曲面のブレイドを表す方法として、曲面結び目のダイアグラムを用いる方法や動画法と呼ばれる方法がよく用いられている。またチャートと呼ばれるグラフィクスを用いた方法も近年登場した。このような表示において、２つの表示が同値な対象を表すための基本変形を与えることも重要となる。代数構造の図式化によって、これらの表示方法やその基本変形が自然にえられたり、理解できる状況が観察された。低次元トポロジーにおける不変量の研究など今後のこの分野の研究に役立つものである。
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