| 研究課題/領域番号 |
19J00252
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
湯淺 亘 京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2021年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | スケイン代数 / クラスター代数 / 色付きジョーンズ多項式 / 量子不変量 / 量子トポロジー / 圏化 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
結び目図式をより簡単な図式の線形和に分解することで、量子不変量の計算を行う線形スケイン理論を用いた量子不変量の研究を行う。この線形スケイン理論は量子群ごとに構成され、それぞれの理論では異なる図式への分解を考える。本研究では A 型のリー代数から構成される線形スケイン理論の図式による計算公式を導出する。そして、この計算公式を用いて低次元トポロジーにおける結び目や三次元多様体の量子不変量の研究のみならず、数論におけるq-級数の研究や、トポロジカル量子計算の研究など幅広い分野への応用を行う。
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| 研究実績の概要 |
sl_3 以外において sp_4 や g_2 などの rank 2 のリー代数やより高次の sl_n に関するスケイン関係式を取り扱う研究を行った。その結果として以下の研究成果を得た。
点付き境界を持つ曲面上のクラスプ付きスケイン代数と量子クラスター代数について、リー代数 sp_4, g_2 の量子群に付随する場合に関して成果を得た。 sp_4 については境界弧で局所化したクラスプ付きスケイン代数から量子クラスター代数への埋め込みの構成と elevation-preservng と呼ばれるクラスのスケイ ン元における positivity の証明を行い論文として執筆している。 g_2 の場合は部分的な対応が得られており、現在進行中である。 また、点付き境界を持つ曲面におけるクラスプ付きスケイン代数と被約版ステイト付きスケイン代数の間の同型写像(ステイト-クラスプ対応)の構成を sl_3, sp_4 の場合に行った。さらに、これらの場合について向き付け可能な3次元多様体におけるステイト-クラスプ対応も考えた。以上の研究は石橋典氏との共同研究である。
この他に、石橋典氏、狩野隼輔氏との共同研究で壁付き曲面のスケイン代数という新たなスケイン代数を導入して、ラミネーションに付随する係数付きクラス ター代数との対応を構成した。単独の研究としては色付きジョーンズ多項式の tail の研究について sp_4 の場合に基本表現の n 倍の最高ウェイトを持つ色付 きジョーンズ多項式の計算を (2,p)-トーラス絡み目に関して行った。そして、その極限から得られる tail の明示式を与えた。
写像類群の量子表現やトポロジカル量子計算に関する具体的な研究には触れることができなかったが、スケイン代数と量子クラスター代数の関係という違った方向へと研究が進展した。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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