| 研究課題/領域番号 |
19J00312
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
土谷 昭善 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2021年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2019年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 格子凸多面体 / 正規凸多面体 / トーリック多様体 / 反射的凸多面体 / Fano多様体 / Castelnuovo多様体 / トーリックイデアル / 正規性 / 完全縮約グラフ / Nef分割 / 理想グラフ |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は，格子凸多面体の研究における現在の流行である，格子凸多面体の分類問題への取り組み，また格子凸多面体の正規性に関する2つの予想，「小田予想」と「Stanley予想 」を解決することを目的としている．特に，可換代数や代数幾何と繋がりが深い反射的凸多面体に注目する，具体的な研究計画としては，(1)中心的対称な反射的凸多面体の分類アルゴリズムの開発，(2)正規反射的 凸多面体に付随するδ多項式がunimodalであることの証明，そして(3)非特異反射的凸多面体が正規であることの証明，に取り組み，上記問題の解決を目指す.
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| 研究実績の概要 |
本研究は格子凸多面体の分類問題と正規性に関する問題を，特に反射的凸多面体に関して調べるものである．本年度は特に反射的凸多面体の面の構造について調べた．これまで知られている結果として，任意の格子凸多面体はある反射的凸多面体の面になっている．この結果に注目して以下の問題を考えた．
問題：性質Aを持つ任意の格子凸多面体は，性質Aを持つある反射的凸多面体の面となるか．
この問題を特に，性質Aとして正規性や非特異性について考えた結果，正しいことが証明できた．この結果の応用として，まず正規ではあるが，正則単模三角形を持たない反射的凸多面体の存在を示すことができる．つまり，特殊な格子凸多面体の例から，同じ特殊な性質を持つ反射的凸多面体を構成することが可能となった．またもう一つの応用として，本研究の最終目標である小田予想「非特異格子凸多面体は正規である」に対して，次のようなことがわかった．
定理「小田予想は非特異反射的凸多面体に対して証明すれば十分である．」
非特異凸多面体は各次元に無限個存在するが，非特異反射的凸多面体は各次元に有限個しかないため，調べるべき対象が極めて少なくなった．さらにこの定理から，代数幾何学的には，小田予想は「トーリックFano多様体は常に射影的正規である」を示せれば十分であることがわかる．この結果をベルリン自由大学のChristian Haase氏とともに共著論文として現在執筆中である．
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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