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絶対版Grothendieck予想とその周辺

研究課題

研究課題/領域番号 19J10214
研究種目

特別研究員奨励費

配分区分補助金
応募区分国内
審査区分 小区分11010:代数学関連
研究機関京都大学

研究代表者

室谷 岳寛  京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)

研究期間 (年度) 2019-04-25 – 2021-03-31
研究課題ステータス 完了 (2020年度)
配分額 *注記
1,700千円 (直接経費: 1,700千円)
2020年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2019年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
キーワード数論的基本群 / 絶対Galois群 / 遠アーベル幾何学 / 双曲的曲線 / 高次元局所体 / 完備離散付値体 / 分岐フィルトレーション / Kummer忠実体 / p進局所体 / モチーフ積分 / 弱ネロンモデル / 実閉体
研究開始時の研究の概要

数論的基本群は、代数多様体(多項式で定まる図形)の「幾何的な」情報と「数論的な」情報が絡み合ってできた、非常に興味深い対象である。数学者Grothendieckは、ある種の代数多様体は、その数論的基本群から「復元」されるであろうと予想した。この予想は既に肯定的に解決されたが、幾何的・数論的な情報の「絡み方」が分からない状態の数論的基本群(より制限された情報)から復元ができるかを問うのが「絶対版Grothendieck予想」である(一部を除き未解決)。本研究ではこの問題の当否を検証するとともに、既存の結果との比較により「どの情報が多様体を決定するのか」を浮き彫りにし、その哲学的な意味を探る。

研究実績の概要

本年度は、本研究課題の主な研究対象であるp進局所体上の双曲的曲線に対する絶対版Grothendieck予想に関連した問題として、次のような成果を得た:
1.高次元局所体の様々な不変量をその絶対Galois群から単遠アーベル的に復元し、ある条件下では体の同型類が絶対Galois群から復元されることを示した。さらに、混標数高次元局所体がKummer忠実であることを示した。この結果と星裕一郎氏による結果を組み合わせることで、混標数高次元局所体上のaffineな双曲的曲線に対する半絶対版Grothendieck予想型の結果が得られた。
2.剰余体が完全な混標数完備離散付値体の分岐フィルトレーション付き絶対Galois群から様々な不変量を単遠アーベル的に復元した。その結果として、ある特定の条件の下で、体の同型類が分岐フィルトレーション付き絶対Galois群及び剰余体の同型類から復元されることを示した。さらに、剰余体が完全な完備離散付値体の絶対Galois群の間の分岐フィルトレーションを保つ準同型についても研究し、その単射性に関するいくつかの結果を得た。その応用として、Victor Abrashkin氏による局所体の分岐フィルトレーション付き絶対Galois群に対するNeukirch-内田型定理の改良版や、望月新一氏によるp進局所体上の双曲的曲線に対する半絶対版Grothendieck予想に関する結果の一般化が得られた。
これら1.及び2.の成果をそれぞれ論文にまとめた(いずれも投稿中)。
また、これらの成果について、九州大学におけるオンライン研究集会で講演を行った。

現在までの達成度 (段落)

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

報告書

(2件)
  • 2020 実績報告書
  • 2019 実績報告書
  • 研究成果

    (3件)

すべて 2021 2020 2019

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件)

  • [雑誌論文] On the Geometric Subgroups of the Etale Fundamental Groups of Varieties over Real Closed Fields2020

    • 著者名/発表者名
      Yuichiro Hoshi、Takahiro Murotani、Shota Tsujimura
    • 雑誌名

      Mathematische Zeitschrift

      巻: - 号: 1-2 ページ: 215-229

    • DOI

      10.1007/s00209-020-02593-7

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] 完備離散付値体の遠アーベル幾何学2021

    • 著者名/発表者名
      室谷岳寛
    • 学会等名
      九州代数的整数論2021春hybrid(KANT2021)
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
  • [学会発表] A p-adic analytic approach to the absolute Grothendieck conjecture2019

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Murotani
    • 学会等名
      Fundamental groups: Geometry and Arithmetic
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演

URL: 

公開日: 2019-05-29   更新日: 2024-03-26  

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