| 研究開始時の研究の概要 |
本研究はDiophantine方程式と呼ばれる方程式の整数解を求める研究課題を代数体のイデアルの分布から考察するというものである. 特に多項式＝階乗という形の方程式は一般化Brocard問題という未解決問題とも関連している重要な研究課題であり, それをイデアル分布から解決することを1つの大きな目標としている.
また階乗関数を代数体に一般化することで, 通常の階乗のときとは異なる結果がイデアル分布によって現れることがあるため, それについても考察する.
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| 研究実績の概要 |
本年度は昨年度に引き続きBrocard-Ramanujan問題に関する研究を行った. 具体的には左辺の多項式を代数体のノルムフォームに変えた場合も同様に解の有限性を得ることを示した. 解の有限性に関しては証明方法が同じであるため, これまでの研究成果と同様に解の存在しない範囲を特定することもできている. ここで, 1変数多項式のBrocard-Ramanujan問題はOesterle-Masser予想の仮定の下で, 解の有限性が知られているが, 実際に解の存在しない範囲を明示的に得ることが難しいことが知られている. つまり, Oesterle-Masser予想の仮定下では消えてしまう情報を使うことで, より精密な結果を得ることに成功したともいえる.
また, Erdos最終方程式のある種の解についての研究も行った. この問題はある性質を満たす解の各整数における存在を問うものである. 本研究では解となる十分条件を新たに与えることにより, 2019年に発表された成果を大幅に拡張した. その条件を満たさない数に関しても個別に考察し, 100パーセントの整数に対して解の存在を証明した.
そして, 新たに代数多様体の有理点の数え上げに関する研究を始めた. 本年度は, ある4次元超平面の反標準的高さに関する有理点の数を計算した. 本研究はManin予想と呼ばれるほとんどすべての代数多様体で未解決な問題と強く関連している. 実際に, ある3次元超平面に関する先行研究はそれらに関するManin予想の解決につながっている. 本年度までの研究では論文にするには至っていないが, 結果を高次元に一般化することや精密化することは今後の研究課題である.
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