| 研究課題/領域番号 |
19J10866
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
中島 啓貴 東北大学, 高度教養教育・学生支援機構, 助教
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-25 – 2021-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2020年度)
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| 配分額 *注記 |
1,700千円 (直接経費: 1,700千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2019年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
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| キーワード | 測度距離空間 / 等長群作用 / 測度の集中現象 / グロモフハウスドルフ距離 / ボックス距離 / オブザーバブル距離 / 等周不等式 / 最適輸送計画 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は，様々な空間において等周不等式を得ることを目標とする．等周不等式は曲線の周の長さを固定した際に曲線の囲む面積を最大にする曲線の形を与える不等式であり，古くから研究されてきた重要な不等式である．素朴な主張に対してその証明は難しく，その最適解が知られている空間はそれほど多くない．本研究においては，加法的誤差を許したリプシッツ順序という新しい概念によるアプローチを用いて等周不等式を得るための研究をする．
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| 研究実績の概要 |
本年度は，主に誤差つきリプシッツ順序と等周不等式に関しての今までに得られた結果についての論文「Isoperimetric inequality on a metric measure space and Lipschitz order with an additive error」の加筆・修正を行った．関連する周辺の研究の調査を行い，自身の研究との関係性をより明確にした．現在，この論文は査読中である．また，l∞距離を備えたn次元正軸体のシャープな等周不等式を求めることを試みたが，既存研究で行われていた空間との状況の隔たりが大きく研究の進行は困難であった．したがって測度距離空間の幾何に関連した代わりの研究として等長群が作用する測度距離空間の収束について研究を行った．特に，群つき測度距離空間同士の距離を定義し，群つき測度距離空間の収束から商空間の収束を導いた．今回定義した距離は二種類ある．一つはGromov-Hausdorff距離の群つき測度距離空間版であり，群つきの場合は距離になるようにうまく定義すること自体かなり非自明である．もう一つは，測度の集中現象を元にして定義されているオブザーバブル距離の群つきのバージョンである．こちらは一つ目の距離に着想を得て定義されており，一つ目の距離よりも弱い位相を与えている．こちらの距離はより非自明なものとなっている．オブザーバブル距離の場合はGromovによるコンパクト化が知られているが，今回の距離ではそのコンパクト化がうまく構成できなかったためその点は今後の課題である．こちらの論文も現在査読中である．
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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