| 研究開始時の研究の概要 |
非線形シュレディンガー方程式の解の挙動を決定づける初期値を基底状態解を用いて分類する. 質量超臨界, エネルギー劣臨界の状況において, 基底状態解の質量とエネルギーの積と等しい, もしくはより大きいような質量とエネルギーの積を持つ初期値に対して解の挙動を決定づける十分条件を与える. また, エネルギー臨界の状況において, 基底状態解のエネルギーより小さいエネルギーをもつ初期値に対して解の挙動を決定づける十分条件を与える.さらに, いままで形式的に考えられていた非線形シュレディンガー方程式系と非線形クライン・ゴルドン方程式系の関係を数学的命題として与え, 証明する.
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| 研究実績の概要 |
研究目的は, プラズマ中のラマン過程を記述する連立系の非線形シュレディンガー方程式の解の時間大域挙動を決定づける初期値を分類することである. 線形部分は解を分散させる効果があり, 非線形部分は解を集約させる効果がある. そのため, 解の種類は多様である. 例えば, 次のような解が存在する. 線形効果が強いときには線形方程式の解に漸近する散乱解が生じる. 非線形効果が強いときには, あるところに集中する爆発解が生じる. 線形効果と非線形効果が釣り合うときには, 例えば定在波解が生じる. これらの挙動を取り扱う.
エネルギー臨界の連立系の非線形シュレディンガー方程式に対して, 線形プロファイル分解を示した.
理化学研究所の池田正弘氏とともに冪乗型ポテンシャルを有する非線形シュレディンガー方程式を研究し, 前年度に得られた球対称基底状態解(球対称定在波解の中で最小のエネルギーをもつ解)を用いて, それの作用汎関数の値より作用汎関数が小さい球対称初期値が時間大域的に存在するための必要十分条件と爆発するための必要十分条件を与えた. さらに, 非線形項に正則性を十分に課すことにより時間大域解が散乱することを示した.
また, 池田氏と逆2乗型ポテンシャルを有する非線形クライン・ゴルドン方程式を研究し, 基底状態解が安定であるための周波数と非線形項の冪の条件と強不安定であるための周波数と非線形項の冪の条件を与えた.
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