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対数型Sobolevの不等式を用いた非線形発展方程式の解の正則性の研究

研究課題

研究課題/領域番号 19J20763
研究種目

特別研究員奨励費

配分区分補助金
応募区分国内
審査区分 小区分12020:数理解析学関連
研究機関東北大学

研究代表者

勝呂 剛志  東北大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)

研究期間 (年度) 2019-04-25 – 2022-03-31
研究課題ステータス 完了 (2021年度)
配分額 *注記
2,500千円 (直接経費: 2,500千円)
2021年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2020年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2019年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
キーワードKeller-Segel 系 / 移流拡散方程式 / 特異極限問題 / 最大正則性 / 実補間理論 / 対数型 Sobolev の不等式 / 一様局所可積分空間 / 適切性 / エントロピー / モーメント不等式 / 準線形偏微分方程式 / 不確定性原理
研究開始時の研究の概要

発展方程式とは、時間が経つごとに変化する流体等の運動を記述する方程式である。本研究では発展方程式の解の正則性、つまり、解の滑らかさや連続性、ひいては解の形状の研究を目的とする。この研究では、特に、熱分布の拡散を記述する熱方程式を代表とする放物型偏微分方程式を中心に考え、函数の凝集の度合いを表すエントロピー汎函数を用いることによって、解の局所的な評価を得る。
また、解が有限時間内で特異点を持ち、解のある量が発散する場合、こういった現象は爆発と呼ばれる。爆発するような解の爆発近傍における解の漸近的な挙動の研究への応用が考えられる。

研究実績の概要

本年度に実施した研究の成果として、走化性粘菌の運動を記述する Keller-Segel 系の初期値問題の零緩和時間極限を一様局所可積分空間で示した。この方程式系は2本の放物型方程式からなる非線形偏微分方程式系であり、方程式中のパラメータの極限操作により、第二式が放物型から楕円型と偏微分方程式を規定する型が変わるため、これを特異極限と呼ぶ。この研究は昨年度に実施した研究である、Keller-Segel 系の単純化である移流拡散方程式の初期値問題の一様局所可積分空間における適切性の研究に端を発するものであり、小川卓克氏 (東北大学) との共同研究に基づくものである。特異極限の収束の証明においては、一様局所可積分空間における熱方程式の初期値問題の解の最大正則性理論を適用する。最大正則性理論は UMD 空間と呼ばれる、Lebesgue 空間を代表とする性質を擁する函数空間上で整備されている。一方で、一様局所可積分空間は UMD 空間ではないことが知られており、最大正則性を示すためには個別の議論を要する。本研究では、一様局所可積分空間の実補間空間を用いることで、熱方程式の初期値問題の解の一般化最大正則性を示した。これは、Keller-Segel 系や移流拡散方程式に限らず、流体の運動を記述する Navier-Stokes 方程式の初期値問題への応用が期待される。また、熱方程式の解の最大正則性理論は解析半群との関わりが強い一方で、対数型 Sobolev の不等式も熱半群の消散評価と相関関係を持つので、放物型偏微分方程式の数学的構造を代表する性質としての最大正則性と対数型 Sobolev の不等式の関連が期待される。

現在までの達成度 (段落)

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

報告書

(3件)
  • 2021 実績報告書
  • 2020 実績報告書
  • 2019 実績報告書
  • 研究成果

    (16件)

すべて 2022 2021 2020 2019

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (14件) (うち国際学会 2件、 招待講演 9件)

  • [雑誌論文] Asymptotic behavior of a solution to the drift-diffusion equation for a fast-diffusion case2022

    • 著者名/発表者名
      Ogawa Takayoshi、Suguro Takeshi
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 307 ページ: 114-136

    • DOI

      10.1016/j.jde.2021.10.032

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Well-posedness and unconditional uniqueness of mild solutions to the Keller-Segel system in uniformly local spaces2021

    • 著者名/発表者名
      Suguro Takeshi
    • 雑誌名

      Journal of Evolution Equations

      巻: 21 号: 4 ページ: 4599-4618

    • DOI

      10.1007/s00028-021-00727-w

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] Singular limit problem for the Keller-Segel system in uniformly local spaces2022

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Suguro
    • 学会等名
      The 23rd Northeastern Symposium on Mathematical Analysis
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 放物-楕円型 Keller-Segel 系の初期値問題の一様局所可積分空間における適切性について2022

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      2022年度年会
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] ある Keller-Segel 方程式系の初期値問題の一様局所可積分空間における適切性について2021

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      東北大学応用数理解析セミナー
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Well-posedness of the Cauchy problem of a Keller-Segel system in uniformly local spaces2021

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Suguro
    • 学会等名
      One-day Online Workshop on Chemotaxis
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] ある Keller-Segel 系の初期値問題の一様局所 Lebesgue 空間における適切性について2021

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      第42回発展方程式若手セミナー
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] 一般化エントロピーを用いた準線形移流拡散方程式のある解に対する漸近挙動の同定2021

    • 著者名/発表者名
      小川卓克、勝呂剛志
    • 学会等名
      2021年度秋季総合分科会
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] 高次元移流拡散方程式のある有限時間爆発解に対する凝集現象について2021

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      京都大学 NLPDE セミナー
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] ある Keller-Segel 方程式の一様局所 Lebesgue 空間における適切性について2021

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      非線形 PDE 若手ワークショップ
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] ある拡張エントロピーに対する Shannon の不等式と不確定性原理への応用2021

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      2021年度年会
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
  • [学会発表] ある拡張エントロピーに対するモーメント不等式と対数型 Sobolev の不等式と移流拡散方程式への応用2020

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      広島大学数理解析セミナー
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Moment-entropy inequality for a generalized Shannon entropy and an application to the uncertainty principle2020

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      若手のための偏微分方程式と数学解析
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Moment entropy inequality for a generalized Shannon entropy and an application2020

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Suguro
    • 学会等名
      Rownania rozniczkowe
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Renyi エントロピーに対する Shannon の不等式とその応用2019

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      第41回若手発展方程式セミナー
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
  • [学会発表] Renyi エントロピーに対する Shannon の不等式と不確定性原理2019

    • 著者名/発表者名
      勝呂剛志
    • 学会等名
      愛媛大学解析セミナー
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 招待講演

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公開日: 2019-05-29   更新日: 2024-03-26  

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