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フラクタル幾何学,付随するゼータ関数,および整数論への応用

研究課題

研究課題/領域番号 19J20878
研究種目

特別研究員奨励費

配分区分補助金
応募区分国内
審査区分 小区分11010:代数学関連
研究機関名古屋大学

研究代表者

齋藤 耕太  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(PD)

研究期間 (年度) 2019-04-25 – 2022-03-31
研究課題ステータス 完了 (2021年度)
配分額 *注記
2,800千円 (直接経費: 2,800千円)
2021年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2020年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2019年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
キーワード等差数列 / フラクタル次元 / 素数表現定数 / 素数表現関数 / Millsの定数 / カントール集合 / ピアテツキーシャピロ列 / 不定方程式 / セメレディの定理 / グリーンタオの定理
研究開始時の研究の概要

与えられた集合にどのくらい大きい項数の等差数列が含まれているかという問題を等差数列の包含問題という。この問題をフラクタル幾何学やフラクタルに付随するゼータ関数などを用いて、幾何学的にアプローチしていくということが本研究の概要である。
等差数列の包含問題はフィールズ賞受賞者らを中心として、近年、大きな発展を遂げている。しかし、逆数和が発散する自然数の部分集合は任意の項数の等差数列を含むだろうという「エルデシュ・トゥーラン予想」は未だ解決されていない。そこで問題を幾何学に置き換えることで、任意の項数の等差数列を含むような新しい集合のクラスを与えることが本研究の目標である。

研究実績の概要

本研究は与えられた集合にどのくらい項数の大きい等差数列が存在するかという問題を主題とし、項数の大きい等差数列が存在するような新しい集合のクラスを与えることを目的としている。主な手法は集合の複雑さを実数で表すフラクタル次元を用いている。今年度の研究では等差数列の存在性について進展は得られなかったが、フラクタル幾何学の整数論的な応用例の1つとして研究していた素数表現関数について大きい進展が得られた。
研究の具体的内容について述べる。1940年代にMillsは素数を次々に生成する関数について研究を行い、ある二重指数関数の整数部分で無限個の素数が記述できるということを明らかにした。その二重指数関数の底に相当する定数を素数表現定数と呼ぶ。特に、Millsの構成によって得られる最小の素数表現定数をMillsの定数と呼ぶ。このMills定数が無理数であるか有理数であるかは未解決問題である。
そこで、本研究で二重指数関数がある条件をみたすとき、素数表現定数の超越性や代数的独立性を明らかにした。さらに、素数表現定数を集めた集合がフラクタル図形であるカントール集合と連続的に移り合う(同相である)ことを明らかにした。ただし、Millsの定数が無理数であるか有理数であるかは未だにわからない。今後の研究課題の1つとしたい。本結果は論文にまとめ、Mathematikaに受理された。
その他の活動として研究とは少し離れるが、オンラインで行われた第15回ゼータ若手研究集会の組織委員の代表を務めた。集会のような大規模なものだけではなく、オンラインのゼミを複数中心的に企画・実施した。iPad等の情報機材を積極的に活用し、コロナ禍でも研究者との交流を能動的に行った。

現在までの達成度 (段落)

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

報告書

(3件)
  • 2021 実績報告書
  • 2020 実績報告書
  • 2019 実績報告書
  • 研究成果

    (25件)

すべて 2022 2021 2020 2019

すべて 雑誌論文 (10件) (うち国際共著 1件、 査読あり 7件、 オープンアクセス 4件) 学会発表 (15件) (うち招待講演 4件)

  • [雑誌論文] Linear equations with two variables in Piatetski-Shapiro sequences2022

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 雑誌名

      Acta Arithmetica

      巻: 202 号: 2 ページ: 91-110

    • DOI

      10.4064/aa201125-26-7

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Prime-representing functions and Hausdorff dimension2022

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 雑誌名

      Hokkaido University technical report series in Mathematics

      巻: 182 ページ: 809-817

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • オープンアクセス
  • [雑誌論文] Linear Diophantine equations in Piatetski-Shapiro sequences2021

    • 著者名/発表者名
      Toshiki Matsusaka, Kota Saito
    • 雑誌名

      Acta Arithmetica

      巻: 200 号: 1 ページ: 91-110

    • DOI

      10.4064/aa200927-15-2

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Prime-representing functions and Hausdorff dimension2021

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 雑誌名

      Acta Mathematica Hungarica

      巻: 165 号: 1 ページ: 203-217

    • DOI

      10.1007/s10474-021-01170-6

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] THREE-TERM ARITHMETIC PROGRESSIONS OF PIATETSKI-SHAPIRO SEQUENCES (Problems and Prospects in Analytic Number Theory)2021

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録

      巻: 2196 ページ: 1-4

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • オープンアクセス
  • [雑誌論文] Distributions of finite sequences represented by polynomials in Piatetski-Shapiro sequences2021

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito and Yuuya Yoshida
    • 雑誌名

      Journal of Number Theory

      巻: 222 ページ: 115-156

    • DOI

      10.1016/j.jnt.2020.12.004

    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Construction of a one-dimensional set which asymptotically and omnidirectionally contains arithmetic progressions2020

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 雑誌名

      Journal of Fractal Geometry

      巻: 7 号: 4 ページ: 319-327

    • DOI

      10.4171/jfg/90

    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] 弱い等差数列とフラクタル次元を用いたSzemerediの定理と同値な条件について (解析的整数論とその周辺)2020

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録

      巻: 2162 ページ: 235-243

    • NAID

      120006956562

    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • オープンアクセス
  • [雑誌論文] A Fractal Proof of the Infinitude of Primes2019

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 雑誌名

      Lithuanian Mathematical Journal

      巻: 59 号: 3 ページ: 408-411

    • DOI

      10.1007/s10986-019-09449-6

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Dimensions of Sets Which Uniformly Avoid Arithmetic Progressions2019

    • 著者名/発表者名
      Jonathan M Fraser, Kota Saito, Han Yu
    • 雑誌名

      International Mathematics Research Notices

      巻: 2019 号: 14 ページ: 4419-4430

    • DOI

      10.1093/imrn/rnx261

    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Topological properties and algebraic independence of sets of prime-representing constants2022

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 学会等名
      第5回数理新人セミナー
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] Topological properties and algebraic independence of sets of prime-representing constants2022

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 学会等名
      第 26 回代数学若手研究会
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] Diophantine equations in Piatetski-Shapiro sequences and Hausdorff dimensions2021

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 学会等名
      ランダム力学系および多価写像力学系理論の総合的研究
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] 素数表現関数とハウスドルフ次元2021

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 学会等名
      2021年度RIMS 共同研究 (公開型) 解析的整数論とその周辺
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] 素数表現定数の集合の位相的性質と代数的独立性2021

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 学会等名
      Workshop 「数論とエルゴード理論」
    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会発表] Piatetski-Shapiro 列の 2 変数変形方程式2021

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 学会等名
      第14回ゼータ若手研究集会
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
  • [学会発表] Piatetski-Shapiro列のDiophantine方程式2021

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 学会等名
      第17回数学総合若手研究集会
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
  • [学会発表] Piatetski-Shapiro列の2変数線形方程式2021

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 学会等名
      日本数学会2021年度年会
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
  • [学会発表] Linear Diophantine equations in Piatetski-Shapiro sequences2020

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 学会等名
      2020年度RIMS共同研究(公開型) 解析的整数論の展望と諸問題
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
  • [学会発表] Linear Diophantine equations in Piatetski-Shapiro sequences2020

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 学会等名
      Diophantine Analysis and Related Fields
    • 関連する報告書
      2020 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Piatetski-Shapiro列からなる等差数列の分布について2020

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 学会等名
      Friday Tea Time Zoom Seminar
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] On a new class of sets containing arbitrarily long arithmetic progressions2019

    • 著者名/発表者名
      齋藤耕太
    • 学会等名
      東北大学整数論セミナー
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] On the dimension of a set which contains (weak) arithmetic progressions in every direction2019

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 学会等名
      東北大学幾何セミナー
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Relations between Szemeredi's theorem and fractal dimensions of sets which do not contain (k,ε)-arithmetic progressions2019

    • 著者名/発表者名
      Kota Saito
    • 学会等名
      RIMS共同研究(公開型)ランダム力学系理論とフラクタル幾何学の研究
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書
  • [学会発表] セメレディの定理と弱等差数列を含まない集合のフラクタル次元との関係について2019

    • 著者名/発表者名
      齋藤 耕太
    • 学会等名
      RIMS共同研究(公開型)解析的整数論とその周辺
    • 関連する報告書
      2019 実績報告書

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公開日: 2019-05-29   更新日: 2024-03-26  

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