| 研究開始時の研究の概要 |
離散可積分系とは, 具体的に解を書き下すことができるなど「良い」性質を持った差分方程式系のことを指す. そのような系は数学的に興味深いだけでなく, セル・オートマトンや数値計算アルゴリズムなど情報学の重要なテーマと密接に関係することが明らかにされてきた。
離散可積分系の導出および解析には, 直交関数系の理論が有効である. 本研究では(-M,1)-双直交多項式という直交多項式系から離散可積分系を導出し, 正値解および保存量を導出する.さらにその結果に基づいて対応する一般化固有値計算アルゴリズムおよびセル・オートマトンの解析を行う.
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| 研究実績の概要 |
離散可積分系とは, 非線形の差分方程式系でありながら, 保存量や厳密解が厳密に書き下せるなどの特徴をもつものを指す. そのなかでも, 時間発展が減算を含まない形でかけるという性質(正値性)を持ったものは特別な興味を持たれている. 興味深い点の一つとして, 正値性を持つ離散可積分系の漸化式に対して超離散化と呼ばれる極限操作を適用することで, 可積分なセルオートマトンを導出することができるということが挙げられる. 本研究の目的は, 正値な離散可積分系を直交関係式の観点から導出し, その超離散化によってオートマトンを導出・解析することである.
本年度は, 前年度得られた離散基本戸田軌道と, その超離散化で得られる箱玉系(ε-BBSと呼ぶ)の拡張を行い, さらにその保存量を組合せ論的アルゴリズムを用いて構成した. まず離散基本戸田軌道を拡張した離散ハングリー基本戸田軌道を導出し, さらにその超離散化によって, ε-BBSの玉の種類を増やす拡張(ハングリーε-BBSと呼ぶ)を得た. また, ハングリーε-BBSの保存量がSchensted挿入と呼ばれる組合せ論的アルゴリズムで得られることを示した. この結果は, 通常の高橋-薩摩の箱玉系に対してはFukuda(2004)によって知られていたが, 本研究ではその結果をハングリーε-BBSに一般化した. この結果は現在論文にまとめて投稿中である(arxiv:2202.09094).
また前年度から投稿中であった超離散戸田方程式と単因子計算についての論文と, 非自励離散基本戸田軌道に関する論文が, それぞれJournal of Mathematical Physics誌とJournal of Physics A: Mathematical and Theoretical誌に掲載された.
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