| 研究課題/領域番号 |
19K03405
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 熊本大学 |
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研究代表者 |
千吉良 直紀 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40292073)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2019年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 有限群 / 共役類 / 既約指標 / 斜準同型 / 指標 / 群 / 表現 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、有限群の表現空間およびその指標に注目し、群の共役類と指標との関係、また、表現空間の中に群の作用の性質を反映した部分構造の構成し、それを用いた有限群の構造の研究を目的とする。特に（１）指標表に関連した予想である原田予想およびそこから派生する諸問題の研究、（２）表現空間の中に存在する、群の作用を反映した組合せ構造および代数構造の構成とその特徴けおよびそれを用いた群の構造の研究を中心に研究を行う。群の性質を指標を用いて明らかにすること、および各表現空間への群の作用の様子を調べることで群の構造を明らかにする。
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| 研究実績の概要 |
本研究課題では表現空間や指標を用いて、有限群の共役類と指標の関係、また表現空間内に構成される組合わせ構造の研究およびそれを用いた有限群の構造の研究を行うことを目的としている。特に、共役類の元の個数と既約指標の次数から得られる数（原田数）に関する予想である原田予想および原田予想と交換子群の位数の関係、また原田予想に関連した不等式の予想などついての研究から有限群の性質を調べることを目的としている。
本年度は原田予想の数と局所部分群との関係について、シローp部分群が巡回群の場合について考察した。特に、シローp部分群が素数位数の場合には元の群の原田数のp部分とp-局所部分群の原田数のp部分が等しいことを示した。また、この一般化としてシローp部分群が巡回群の場合についても同様に位数pの部分群の正規化群の原田数と元の群の原田数に関係があることがわかった。この証明により、モジュラー表現論と深い関連があることもわかった。もう少し一般的な状況で同様なことが示せると思われるため、継続して研究をしている。
また、p群の場合についての考察を継続して行っている。特にべき零クラス2の場合についての細かい考察を共同研究者と行った。現在継続中である。
また、群の構造を研究する上で基本的な道具の1つである準同形写像およびその変形である斜準同型写像の個数、また関連して半直積群における正規部分群の補群の個数に関する予想について淺井-吉田による予想の部分的な解決を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究課題は他の研究者との研究討論などを有効に行うことで研究を進める予定であったが、コロナ禍によって影響を受けた。これまでの遅れを取り戻すまでに至っていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
シローp部分群が巡回群である場合の一般化としてシローp部分群がTI部分群である場合についての考察、局所部分群の構造と元の群の構造との関係から原田数の様子を調べる。また、p群の場合、べき零クラス2の場合の考察を行い、原田予想の部分的な解決を目指す。そのために多くの群の様子を事細かに調べた上で理論の構築を行い、結果を導く。関係する研究者との研究討論を密に行い、研究の進展を図る。
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