| 研究課題/領域番号 |
19K03416
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
越谷 重夫 千葉大学, 大学院理学研究院, 名誉教授 (30125926)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2019年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 表現論 / 有限群 / 森田同値 / pブロック / 不足群 / ブラウアー予想 / ブラウアー直既約性 / 自己準同型自明加群 / endo-trivial module / Scott module / wreath product group / Puig's conjecture / Brauer indecomposability / semi-dihedral 2-group / Schur multiplier / trivial source module / p-permutation module / special linear group / special unitary group / モジュラー表現論 / ブロック / 二面体群 / 準二面体群 / 一般四元数群 / 有限次元代数 / 既約加群 / アウスランダー・ライテン箙 / 可換不足群 / スコット加群 / 局所大域予想 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
「群」とは、例えば、正三角形、正方形、そして壁紙、建物の床、紋章などに見られる対称性を抽象化させたものである。この対称性を維持した操作が有限の種類しか現われないときに、有限群と呼ぶ。そして線形代数に出て来る正方行列（数を縦横同じ個数だけに並べたもの）を考える。例えば2次正方行列とは、縦横合わせて4つの箱に数を入れたものになる。そして有限群を、正方行列の中でも逆行列を持つ行列たちの中で表そうとするのが、有限群の表現論である。今回の研究では、「大きい有限群の表現論」は「元の群よりずっと小さい局所群の表現論」で本質的には近似できるのではないか、という予想の解決に取り組む。
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| 研究成果の概要 |
目的は「素数 p に対する有限群 G の pモジュラー表現論（大域）」は「G のシローp部分群 P の G における正規化群の pモジュラー表現論（局所）」に支配されている、という予想に関するものであった。具体的にはアルペリン・マッカイ予想、ブラウアー予想、デイド予想、ブルエ予想、ドノバン予想（プーチ有限性予想）などである。当該研究者はこのうち、ブルエ予想に役立つブラウアー直既約性、プーチ有限性予想等関しての新しい結果を得ることができた。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
課題は代数学での有限群の表現論（基礎体の標数は素数 ）であった。有限群の表現論（大域）と、より小さい群の表現論（局所）との関係を調べ、より簡単な局所での表現論を大域へ繋げることを試みた。これに関する重要な予想（ブラウアーの通常既約指標予想、プーチの有限性予想、ブラウアー直既約性予想）に関して、幾つかの重要な場合に結果を得た。表現論における重要な寄与である。
現代社会でのセキュリティー（暗証番号等）に素数が大いに役立っているように、純粋数学内の研究であっても、実は一般社会に大いに貢献している。特に近年、AI は、純粋数学の研究を必要としている。その意味で、十分社会意義がある。
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