| 研究課題/領域番号 |
19K03424
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
伊吹山 知義 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (60011722)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2021年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | ジーゲル保型形式 / 代数的的保型形式 / 保型形式の次元公式 / 超特異アーベル多様体 / ゼータ関数 / 保型形式の合同 / 保型形式上の微分作用素 / ラングランズ予想 / パラモジュラー保型形式 / 次元公式 / 代数的保型形式 / 微分作用素 / パラモジュラー形式 / 種の理論 / L 関数 / モジュライ / 類数 / ４元数的エルミート形式 / 特殊関数論 / 類数公式 / pullback formula / アイゼンシュタイン級数 / 特殊多項式 / ４元数的エルミート群 / アーベル多様体 / 四元数的エルミート形式 / 保型的微分作用素 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
保型形式とはある種の高度な対称性を持つ解析関数のことで、数の存在の様子を記述するガロア表現や整数論と深く関わる対象である。本研究は定義も見かけも異なる保型形式が、実は本質的には全く同じ重要なデータを内包するという何種類かの観察を精密化し、証明しようとする試みである。その過程で自然に現れる微分作用素や特殊関数論も研究する。以上の対象は暗号理論にも利用される超特異幾何学を記述する算術的手段にもなっている。これらの多くの数学的対象の重層的交わりを総合的に研究する。
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| 研究成果の概要 |
ウェイトの行列式部分が３以上の、素数レベルの２次パラモジュラー形式について、Atkin-Lehner 対合の固有空間ごとの次元公式を明示的に与えた。
３次までの主偏極超特異アーベル多様体の a-number に応じた細分の交差の様子について、パラホリック部分群による特徴づけを与えた。
ジーゲル上半空間上の関数に対する定数係数線形微分作用素で、領域の対角ブロックへの制限について保型性を保つようなものは、保型因子への作用の様子のみで記述される標準基底で与えられることを示し、かつ標準基底全体の具体的な母級数を与えた。これを用いて、跡部、千田、桂田、山内とともに Harder 予想の部分的証明を与えた。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
パラモジュラー形式については１変数の志村・谷山予想の類似で、有理数体上定義されたアーベル曲面のゼータ関数がウェイト２のもので与えられるという Brumer の予想があり、 Poor, Yuen などが、ウェイト３以上のデータを用いて数値実験を行っている。我々の結果はこれに直接的な影響を与えている。超特異アーベル多様体のモジュライについては、一般次元の細かい一般論への基礎が低次元で検証された形になっている。我々の微分作用素の理論は次数２のヤコービ形式の決定、L 関数の特殊値、Harder 予想、周期に関する予想、slope の評価、など様々な数学での欠くことのできない道具として使用されている。
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