| 研究課題/領域番号 |
19K03440
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
山崎 玲 (井上玲) 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (30431901)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | クラスター代数 / ワイル群 / 量子群 / q指標 / 量子群の表現 / 量子化 / 双曲幾何 / 表現論 / 非可換化 / 点付きリーマン面 / 可積分系 / 組合せ論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
量子群の表現論に出自をもつ「幾何R行列」を今世紀新しく導入された「クラスター代数」の文脈で書き換えた我々の最近の論文のアイデアをもとに，幾何学および組合せ論的表現論の新しい展開を生み出す．特に，Kac-Moody Lie環に付随した点付きリーマン面の高次タイヒミュラー空間の性質と量子群との関係，および全正値行列にまつわる概念の非可換化を研究する．
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| 研究実績の概要 |
今年度は，ワイル群のクラスター実現と量子群のq指標との関係について以下のような研究を行った．
有限次元単純Lie環gのワイル群をクラスター代数を用いて実現し，それをgの量子群のq指標に応用した2020年の結果を発展させた．2020年はワイル群を実現した箙の頂点に新しい変数yを配置し，ワイル群の作用をyの生成する有理関数体Y上に拡張したが，今年度はワイル群の作用で不変なYの部分体を特定した．この結果を山崎隆雄氏と共同で論文「Invariants of Weyl group action and q-characters of quantum affine algebras」にまとめた．この結果は，qが1の冪根のときのq指標とワイル群作用に関わる問題を部分的に解決したことになる．一方，qが1の冪根でない場合のq指標について (1) ワイル群作用の存在の有無，(2)ワイル群とスクリーニング作用素との関係の2つが基本的な問題であったが，こちらは我々が論文を公表した後にFrenkelとHernandezにより肯定的に解決された．
クラスター代数の表現論と幾何学への応用に関して，2023年9月にモントリオール大学のCRM研究所でAisenstadt Chair Lecture Seriesの講演者として招待され，Cluster algebras and combinatorics in representation theory, Cluster algebra and its development, Cluster algebras and hyperbolic geometryと題した3回の連続講演を行った。また，2023年3月に日本数学会年会で「ワイル群のクラスター実現と表現論への応用」と題した特別講演を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
コロナ禍による様々な制約が緩和され、今年度は3年ぶりに国内外へ出張して研究集会に出席し、様々な議論と情報収集を行うことができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き，クラスター代数の応用と非可換化に関する次のような研究を進める予定である。
(1) ネットワークの理論の非可換化について：非可換変数によるネットワーク構成を考察し，クラスター代数の新しい非可換化を構成する．さらに，ネットワークに付随する様々な組み合わせ的対応の非可換化，幾何クリスタルの非可換化など様々な関連する問題を考える．
(2) クラスター代数の3次元多様体への応用について：多様体が点付き曲面束の場合に量子クラスター代数を用いて不変量を構成する研究を行う．以前の共同研究でクラスター実現を構成した1点穴あきトーラス束および点付き円盤束として実現した結び目補空間の，量子化を用いた不変量を考察する．
(3) ワイル群のクラスター代数による実現の応用：有限次元単純Lie環がA型のときに知られている離散可積分系の研究を，他のLie環の場合に一般化する方法を考察する．表現論と幾何学の両方に深く関係するFockとGoncharovによって導入された箙についても可積分系への応用を考察する．
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