| 研究課題/領域番号 |
19K03441
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
高橋 剛 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (60390431)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2021年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2020年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | ガロア点 / ガロア直線 / 準ガロア点 / 弱ガロア・ワイエルシュトラス点 / 代数関数体 / 自己同型群 / 射影的代数曲線 / 代数曲線 / 代数関数体の内部構造 / ガロア・ワイエルシュトラス点 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
代数関数体にどのような部分体が含まれているのかを, 代数幾何を用いて調べたい. 平面代数曲線の関数体を調べるためにガロア点が研究されてきた. より広いクラスの代数関数体をより詳しく調べるためには, ガロア点の概念をどのように一般化すべきだろうか.
平面代数曲線に対する準ガロア点, 代数曲線の弱ガロア・ワイエルシュトラス点, およびそれらの高次元化の研究を行う. 具体的には, それらの個数と分布, 付随する群を調べる. さらに, 得られた結果を射影多様体の分類や自己同型群の研究などに応用する. ガロア点理論の研究者を訪問して共同研究を行う. また, ワークショップを開催して意見交換を行う.
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| 研究実績の概要 |
代数関数体の内部構造を調べるために、吉原久夫氏（新潟大学名誉教授）は、射影平面内の完備代数曲線（平面曲線）に対して「ガロア点」の概念を導入した。平面曲線のガロア点は、吉原氏により、射影空間内の射影代数多様体に対する「ガロア部分空間」としてその定義が拡張され、基礎的研究が行われた。また、深澤知氏（山形大学）と三浦敬氏（宇部高等専門学校）と私により、平面曲線に対する「準ガロア点」がガロア点の概念の拡張として定義され、その研究が進められてきた。米田二良氏（神奈川工科大学）と私により、平面内にあるとは限らない非特異完備代数曲線に対する「弱ガロアワイエルシュトラス点」が平面曲線のガロア点の類似として定義され、ワイエルシュトラス半群が２元生成となる弱ガロアワイエルシュトラス点の個数が決定された。平面曲線の準ガロア点、代数曲線の弱ガロアワイエルシュトラス点、およびそれらに関係する対象を研究するというのが本研究課題である。
３次元射影空間内の完備代数曲線（空間曲線）に対する「ガロア直線」の研究では、その基礎的部分は吉原によって行われた。低次数の空間曲線に対しては、非特異空間６次曲線に対してのガロア直線の本数はこれまで決定されていなかった。今回、米田氏との共同研究により、非特異空間６次曲線に対して、ガロア群が巡回群となるガロア直線の本数とその分布を決定することができた。得られた結果を２本の論文にまとめて投稿していたが、当該年度において学術雑誌にアクセプトされた。
深澤氏、三浦氏と共同研究したきた平面曲線に対する準ガロア点の個数について、残されていた細かい不明点（論文投稿する上では解決しておきたい）を解明することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
新型コロナウィルス感染症の感染拡大状況やその予防対策の影響のため、対面での研究打ち合わせや、対面での研究集会の開催を自粛する状況が当該年度も続いた。年度の終わりころになって、対面での打ち合わせや集会が行えるようになってきた。オンラインでの研究打ち合わせに馴染んできたことや対面での打ち合わせを再開できたことで、円滑に打ち合わせを行えるようになった。
米田氏との共同研究の結果を２本の論文にまとめて学術雑誌に投稿していたが、それらはレフリーによる指示を受けて修正を行い、アクセプトされた。
深澤氏、三浦氏との共同研究により、平面曲線の準ガロア点の個数とその分布について結果を追加し、目標のところまで研究を仕上げることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
対面型の研究打ち合わせを増やし、以下のようなことに取り組む予定である。
米田氏との共同研究により、非特異空間６次曲線に対して、ガロア群が巡回群ではないガロア直線の本数とその分布を決定する。
深澤氏・三浦氏との共同研究で得られた、平面代数曲線の準ガロア点の個数と分布に関する研究結果をまとめた論文を完成させ学術雑誌に投稿する。
池田愛輝氏（新潟大学）との共同研究により、可約な平面曲線のガロア点を定義し、その基本的な性質を調査する。
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