| 研究課題/領域番号 |
19K03448
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
吉野 雄二 岡山大学, 環境生命自然科学研究科, 特命教授 (00135302)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | DG代数 / DG加群 / 導来圏 / 三角圏 / Cohen-Macaulay加群 / 安定圏 / DG代数およびDG加群 / ホモトピー圏 / シジジー / ホモロジー代数 / 代数学 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
位相幾何における不変量として登場してきたホモロジーの考え方が代数的に整理され、ホモロジー代数という分野が確立してのは２０世紀中頃であった。その当初から問題として提出されていた多くの予想がある。これらの予想については，およそ50年の間に多くの試みがなされてきて解決されたものもあるが，一方では解決の方向性すら定まらないものもある。本研究ではそれらの未解決の予想のうちで可換環上の加群に関する予想について、新たな視点を提供し解決の糸口を探るものである。
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| 研究実績の概要 |
可換なDG代数上のDG加群のホモロジー代数を展開することによって、今までには知られていなかった可換環上の加群のホモロジー代数に関する幾つかの問題に対して解決の手段を提供することが本研究課題の目的であって、本来は可換環に関する問題であるにも関わらずそれを次数付き微分代数（=D G代数）というより広い枠組みで捉え直して新たな方法を探るのが本研究における独自の視点である。
昨年までの成果としてD G加群の持ち上げ問題(lifting problem)の重要な拡張として素朴持ち上げ(naive lifting)というものを定義してその性質を集中的に調べてきた。naive liftingの障害類が、DG加群に付随する接続(connection)から定まるAtiyah 類と一致することがわかった。さらにこれらの障害類を計算するために必要な、被覆D G代数上の半自由分解(semi-free resolution)を具体的に構成することができた。これによってnaive lifting が起こるための数々の必要十分条件が得られる。またこれを利用して我々が正しいと想定している素朴持ち上げ予想(naive lifting conjecture)の証明の手掛かりが得られると期待している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
DG加群の持ち上げに関するnaive lifting 理論という独自理論の構成に至った。さらにnaive liftingの持つ性質が徐々に判明してきている。これによって 「Auslander-Reiten予想の仮定と同等の条件の下で、naive lifting が成立する」というnaive lifting 予想の証明に手がかりが得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
可換DG代数上のDG加群のnaive liftingの障害類が、DG加群に付随する接続(connection)から定まるAtiyah類と一致することは前年度までの研究で分かった。また昨年度には、naive liftingの障害類やAtiyah類を計算するための手段として、与えられたD G代数の被覆D G代数上でsemi-free resolutionを具体的に構成することができた。これによってAtiyah類はDG代数の対角イデアル(diagonal ideal)のテンソル代数にまで拡張されることがわかり、幾つかのnaive liftingが起こるために必要十分条件が得られた。これらをさらに詳しく検討してnaive lifting 予想の解決を目指す。 それが可能になると代数学において長年問題であった可換環上の加群に関するAuslander-Reiten予想の解決につながるものであるので、十分大きな波及効果が期待できる。
研究費については、共同研究者（小野舞子氏、Saeed Nasseh氏）との研究打ち合わせのための出張や研究成果発表および意見の聴取を目的とした学会・研究集会への参加に係る諸費用としてほぼ全額を使用する予定である。
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