| 研究課題/領域番号 |
19K03451
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 名古屋市立大学 |
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研究代表者 |
河田 成人 名古屋市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50195103)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2019年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 有限群 / 表現論 / Auslander-Reiten有向グラフ / 有限群の表現 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
有限群の完備離散付値環を係数とする群整環においてAuslander-Reiten有向グラフ（ARクイバー）の性質を研究する。ARクイバーとは、群整環上の直既約加群の同型類をグラフの点とし、既約写像を矢とみなして得られる向き付けられたグラフのことであり、直既約加群のなすカテゴリーに秩序だった枠組みを与える。無限表現型の群整環のARクイバーについて一般的なことは知られていないので、重要な表現加群を含む連結成分に注目し、特にグラフとしての形状や部分群との関連性の考察を進める。
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| 研究成果の概要 |
有限群Gの完備離散付値環上の群環の整数表現におけるAuslander-Reiten有向グラフを研究した。特に、Gのp-部分群Qをヴァーテックスに持つScott加群SのAuslander-Reiten連結成分に属する直既約加群のヴァーテックスはQまたはQの正規化群のSylow部分群であることを示した。また、Sの概分裂短完全列に直既約加群Lをテンサーした短完全列が概分裂となるのは、Lがvirtually irreducibleであるときに限ることを示した。さらに、Lがvirtually irreducibleである必要十分条件は、LとLの双対加群のテンサー積にSが重複度１で現れることを証明した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
有限群を基底とした線形空間に、群として本来持つ乗法を反映させて構成される群多元環は、群の構造を研究するために役立つとともに、対称多元環としてとても重要な多元環である。本研究では、多元環の表現論で駆使されているAuslander-Reiten理論を利用することによって、有限群の整数表現において重要な役割を果たすScott表現加群やvirtually irreducible表現加群についてテンサー積と関連させた興味深い結果を得た。このことは、有限群の表現においてAuslander-Reiten理論の新たな活用方法を見出すことが期待できる。
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