| 研究課題/領域番号 |
19K03460
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 秋田大学 |
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研究代表者 |
中江 康晴 秋田大学, 理工学研究科, 講師 (80506741)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | トート葉層構造 / 左順序付け可能基本群 / アノソフ流 / Birkhoff section / essential lamination / 結び目群の全射準同型 / L-space予想 / アノソフ流の手術 / 左順序付け可能性 / トーラス束結び目 / 左順序付け可能 / L空間予想 / ３次元多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
近年、低次元トポロジーにおいて強力な不変量となっているヒーガードフレアーホモロジーと、古典的な位相不変量である基本群の性質を結ぶ、Ｌ空間予想に関する研究を行う。特に、結び目や絡み目に沿ったデーン手術や、分岐被覆によって構成される閉３次元多様体に着目し、その多様体の基本群が左順序付け可能になるための条件を得ることと、余次元１の葉層構造であるトート葉層構造の具体的な構成を目指す。また、アノソフ流の閉軌道に沿ったデーン手術にも着目することで、トート葉層構造とアノソフ流の力学的性質との関連も研究を行う。
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| 研究実績の概要 |
本研究課題の目的は、3次元多様体の位相的性質をよく表すトート葉層構造の存在とその基本群の左順序付け可能性の関係を、Boyer、Gordon、Watsonらによって提示されたL-space予想と合わせて研究することである。
2021年度に出版された市原一裕氏との共著論文で扱ったアノソフ流の研究に関連して、野田健夫氏と８の字結び目補空間におけるアノソフ流の閉軌道をBirman-Williamsのテンプレート理論を用いて研究した。それらのうち、周期が２と３のものをリスト化しそれらについての例外手術となるスロープを計算により得た。またそれらによる手術でR-coveredアノソフ流が得られないスロープの組み合わせについて研究を行った。
さらにアノソフ流の手術に関する研究として、野田健夫氏と球面上の３つの特異点をもつorbifoldにおける単位接束の測地流における、Birkhoff sectionについての研究を行い、特に、Dehornoyによる構成とは異なる閉測地線を用いた境界数が１のBirkhoff sectionの構成について研究を行っており、現在も継続中である。
市原一裕氏とは、左順序付け可能な基本群を用いてトート葉層構造を構成するTao Liのプレプリントの結果に対して、Tao Liの結果がヒーガード種数が２の場合に限定されているため、これを一般の種数にした場合の、essential laminationの構成についての研究を行った。
さらに北野晃朗氏と、結び目補空間の基本群である結び目群のあいだの全射準同型に関して、その準同型が写像度０の連続写像から誘導されるような結び目の組にどのようなものがあるかについて研究を行い、曲面束結び目となるモンテシノス結び目と８の字結び目の組で条件を満たすものを得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題では、トート葉層構造の構成と、基本群が左順序付け可能となるため、またはならないための条件に着目して研究を進めている。2021年に出版された論文で用いたアノソフ流の閉軌道に沿った手術の手法を発展させるため、野田健夫氏と定期的にオンラインの研究打ち合わせをすることで共同研究を進め、８の字結び目補空間におけるアノソフ流の閉軌道をBirman-Williamsのテンプレートを用いて、周期２と３について具体的に全て得て、それらに沿った例外手術を計算によって得た。またそれら手術によって得られるアノソフ流が、基本群の左順序付け可能性と結びつくR-coveredアノソフ流となるかについて、計算機によるシミュレーションを行った。さらに、懸垂アノソフ流を作り出すBirkhoff sectionの構成に関連して、８の字結び目に沿った手術で得られるorbifold上の単位接束における測地流に対するBirkhoff sectionの構成を進めている。
また、市原一裕氏と、Tao Liによるプレプリントの結果を拡張する手法として、左順序付け可能基本群をもつ３次元多様体にessential laminationを構成する方法について、一般のヒーガード種数を持つ場合における研究を行った。これは、基本群の左順序からトート葉層構造を構成する方向性の研究として、新たな方向のものである。
さらに、2022年度後半から、北野晃朗氏と結び目群のあいだの全射準同型と、それを誘導する写像度０の連続写像についての共同研究を行い、曲面束結び目となるモンテシノス結び目と８の字結び目の組みでそのような性質を持つものを、結び目のsymmetric union構成と関連付けて考察した。
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| 今後の研究の推進方策 |
アノソフ流の閉軌道に沿った手術の手法により得られる多様体の性質について、本研究課題のテーマであるL-space予想に関連して、基本群の左順序付け可能性に結びつくR-covered Anosov flowが得られる手術と、R-covered Anosov flowにならない手術の観点から研究を行う。特に８の字結び目補空間に構成される懸垂アノソフ流に着目する。８の字結び目に沿ったスロープ1手術により、球面に(2,3,7)型特異点を持つorbifold上の単位接束が得られ、そこにおける測地流に対するBirkhoff sectionでmonodromyが８の字結び目補空間の曲面束のmonodromyと等しくなるものがDehornoyによって与えられている。これと対比して、スロープ2手術によって(2,4,5)型特異点をもつorbifold上の単位接束が得られることから、同様に８の字結び目補空間の曲面束のmonodromyと等しくなるmonodromyを持つBirkhoff sectionを構成する共同研究を野田健夫氏と行う。
左順序付け可能な基本群をもつ３次元多様体からトート葉層構造を構成する方向の研究はあまり多くないが、その一つの手法としてTao Liによるヒーガード種数２の多様体における、分岐局面を用いたものがある。これを一般の種数の場合に、特にessential laminaitonを構成する手法の研究を市原一裕氏と行う。
結び目群の間の全射準同型であって写像度０の連続写像から誘導されるものの研究もあまりなされていないため、特に８の字結び目や三葉結び目の結び目群への全射準同型を持つようなものに着目して、北野晃朗氏と共同研究を行う。
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