研究課題/領域番号 |
19K03462
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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研究機関 | 千葉大学 |
研究代表者 |
今井 淳 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (70221132)
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研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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キーワード | コンパクトボディ / ポテンシャル / 冪凹性 / 凸領域 / 留数 / エネルギー / メビウス不変性 / 正則化 / Graham-Wittenエネルギー / インダクタンス / Rieszエネルギー / 積分幾何学 |
研究開始時の研究の概要 |
X をユークリッド空間のコンパクト部分多様体とする。二点間の距離のべき乗を二重積分したものを、べきを複素変数としてその複素関数とみなす。これに解析接続を適用すると、一位の極のみを持つ有理型関数が得られる。この留数として、体積、曲面のウィルモア汎関数、低次元の場合はオイラー数など、幾何学的に重要な量が得られることが分かっている。この留数の性質、および既知の量との関係の解明が主要な目的である。
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研究実績の概要 |
Ωをn次元ユークリッド空間のコンパクト部分多様体で全空間と同じ次元nをもつものとする。このときΩをコンパクトボディという。sを実数として、R^n の点 x でのΩ の s-ポテンシャルを、点 x からの距離の s 乗をΩ上積分し、必要なら正則化することにより定義する。Ω のポテンシャルの最小点(sの値によってはΩの内部での最大点)をΩのs-中心と呼ぶ。Ωが凸であるときにこのs-中心の唯一性が示せるか、という問題を考える。sがある範囲にある場合のみまだ未解決である。偏微分方程式の解の幾何学的性質を研究する分野で用いられる手法、特に冪凹性の理論の適用を目指している。2022年度に得られた成果は、もしもポテンシャルが冪凹ならばこの冪は実数ではだめで、マイナス∞でなければならない、つまりポテンシャルは擬凹関数になるべきである、ということである。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
2022年度は論文の形の成果は出なかったが、2019年度以降だと論文を8編出し、そのうちの7編はアクセプトされたので、研究成果という点では当初の計画以上である。 一方、予算執行という点では、コロナの影響で2020年度から旅費がほとんどなくなったため、予定を大幅に下回ってしまっているが、総合的に考えると研究自体は計画以上に進展していると言って差支えないと考えている。
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今後の研究の推進方策 |
ユークリッド空間のコンパクトボディが凸であるときに、ポテンシャルが強い意味で擬凹関数になることを示すことを目標とする。これが示せれば、凸ボディのs-中心が唯一であることがsの値にかかわらず示せることになり、当研究の目標の問題の一つが解決することになる。そのために、解析(PDEの解の幾何学的性質の研究)に用いられてる手法を適用できるかいろいろと試みてみたい。
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