| 研究課題/領域番号 |
19K03462
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
今井 淳 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (70221132)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | マグニチュード / リースエネルギー関数 / 留数 / コンパクトボディ / ポテンシャル / 冪凹性 / 凸領域 / エネルギー / メビウス不変性 / 正則化 / Graham-Wittenエネルギー / インダクタンス / Rieszエネルギー / 積分幾何学 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
X をユークリッド空間のコンパクト部分多様体とする。二点間の距離のべき乗を二重積分したものを、べきを複素変数としてその複素関数とみなす。これに解析接続を適用すると、一位の極のみを持つ有理型関数が得られる。この留数として、体積、曲面のウィルモア汎関数、低次元の場合はオイラー数など、幾何学的に重要な量が得られることが分かっている。この留数の性質、および既知の量との関係の解明が主要な目的である。
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| 研究実績の概要 |
2023年12月に大阪で開催された国際研究集会Magnitude2023で多様体の留数、Brylinskiベータ関数（Rieszエネルギー関数）とマグニチュードについて講演を行った。この際、三角形がマグニチュードで特定されるか、という問題を提案した。この問題を一般化して肯定的に解決した。すなわち、genericな有限距離空間は、正確に述べると、点の間の距離の多重集合（同じ元が繰り返し現れることを許した集合）が有理数体上線形独立となるような有限距離空間はマグニチュード関数で特定できること、さらに三点集合は全て、四点集合は最長の辺長が最短の辺長の２倍未満ならばやはりマグニチュード関数で特定できることを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当研究課題を開始した2019年以降論文を９編書き、そのうち2024年に出した１編を除きアクセプトされたので、研究成果という点では当初の計画以上である。（2024年のものは投稿中で現在修正して再提出を求められている状態である）
一方、予算執行という点では、コロナの影響で2020年度から旅費がほとんどなくなったため、予定を大幅に下回ってしまっていたが、2023年度に物品類を新たに購入し、2024年度に使い切れるめどが立った。以上のことから、総合的に考えると順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
一番新しいプレプリントを書いているとき、ユークリッド空間のつぶれていない四面体の頂点となる四点集合はマグニチュード関数で特定できる、という予想を得たのでそれを研究したい。さらに、有限距離空間の新しい量（関数）を一つ考案したので、マグニチュード関数、マグニチュードホモロジー、Rieszエネルギー関数、新しい関数の三つが有限距離空間をどの程度特定するか、という問題を考えたい。最初は平面の正多角形が特定できるか、という問題を考えるつもりである。
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