| 研究課題/領域番号 |
19K03466
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 曲面結び目 / 曲面絡み目 / 仮想結び目 / 局所変形 / ２次元結び目 / ３重点数 / ブランチ点 / 射影図 / 交差多項式 / ねじれ多項式 / 奇ねじれ数 / クシイ変形 / 不変量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
1 次元の結び目は射影図を用いることでさまざまな不変量を生み出し, 幅広い応用とと もに活発に研究されてきた. これに対し2次元の結び目の研究はその視覚化の困難さから構成と分類の両面で立ち遅れている. 本研究では曲面結び目の射影図が内包する複雑さを考察し, 4 次元空間の中の曲面結び目を実際に目で見て扱えるレベルまで落としてその性質を解明する. 古典結び目の研究と曲面結び目の射影図とを組み合わせることで, 曲面結び目の新しい不変量を探索し, 古典結び目と曲面結び目の類似性と相違性に着目しながら曲面結び目の分類と構成につなげる.
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| 研究実績の概要 |
曲面結び目理論における局所変形の研究は、その代数的・幾何的構造の関係を調べる上で基本的である。特に種数１のリボン曲面絡み目は仮想絡み目を用いて表すことができる。この意味で仮想結び目に対する局所変形を調べることは重要な課題である。
本年度はまず、仮想絡み目に対する「仮想デルタ変形」という局所変形を導入し、ふたつの仮想絡み目が仮想デルタ変形で移り合うための必要十分条件を絡み数に由来する「パリティ」を用いて与えることに成功した。特に仮想デルタ変形が仮想結び目に対しては結び目解消操作であることを意味する。この結果から仮想デルタ変形に対応する、種数１のリボン曲面絡み目に対する局所変形を導入でき、曲面絡み目の絡み数を用いて完全に分類できることがわかった。
次にこの精密化として、有向仮想絡み目に対する局所変形を研究した。特に有向仮想デルタ変形はふたつのクラス（タイプ１と２）に分けられる。加えて、有向仮想絡み目に対する仮想シャープ変形と仮想パス変形も考察することにより、タイプ１の仮想デルタ変形と仮想シャープ変形は局所変形として等価で、その分類はパリティで記述できること、また、タイプ２の仮想デルタ変形と仮想パス変形は等価でその分類はパリティの精密化である交差数で記述できることがわかった。これらの結果はいずれも種数１のリボン曲面絡み目に対する新たな局所変形と分類を与えている。
本研究全体を通じて、曲面結び目の射影図がみたすべき必要条件の研究、それを用いた３重点数が４である２次元結び目の完全決定、仮想結び目の３種類の交差多項式とその性質の解明、奇捩れ数に対応する局所変形の決定、さらに仮想絡み目および種数１のリボン曲面絡み目に対する新しい局所変形の発見とその性質の解明などを行うことができた。
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