| 研究課題/領域番号 |
19K03466
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 曲面結び目 / ２次元結び目 / 射影図 / ３重点数 / 不変量 / 仮想結び目 / 交差多項式 / 局所変形 / 曲面絡み目 / ブランチ点 / ねじれ多項式 / 奇ねじれ数 / クシイ変形 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
1 次元の結び目は射影図を用いることでさまざまな不変量を生み出し, 幅広い応用とと もに活発に研究されてきた. これに対し2次元の結び目の研究はその視覚化の困難さから構成と分類の両面で立ち遅れている. 本研究では曲面結び目の射影図が内包する複雑さを考察し, 4 次元空間の中の曲面結び目を実際に目で見て扱えるレベルまで落としてその性質を解明する. 古典結び目の研究と曲面結び目の射影図とを組み合わせることで, 曲面結び目の新しい不変量を探索し, 古典結び目と曲面結び目の類似性と相違性に着目しながら曲面結び目の分類と構成につなげる.
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| 研究成果の概要 |
曲面結び目理論における構成と分類は基本的課題である。本研究では射影図を用いて構成し、不変量を用いて分類することを目的とした。３重点数が４である２次元結び目の射影図をガウス図を用いて表示する手法を開発し、３重点数が４であるための必要十分条件が２ツイストスパン三葉結び目とリボンコンコーダントであることを示した。また種数１の有向リボン曲面結び目を表す仮想結び目に対し、捩れ多項式と独立な３種類の交差多項式を導入し、特徴付けや連結和に関する性質を解明した。捩れ多項式に付随する奇捩れ数と対応する局所変形を決定した。さらに仮想結び目・絡み目の新たな局所変形を複数導入し、それらが対応する不変量を決定した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
曲面結び目の表の作成は、分類と構成の観点から重要な課題であり、その点で３重点数が４である２次元結び目の決定は意義が大きい。その手法は古典的結び目のガウス図を踏襲しており、種数が正である曲面結び目の分類にも応用ができる。リボン曲面結び目は仮想結び目で表示できるため、仮想結び目の不変量の研究は曲面結び目の研究につながる。本研究で導入した３種類の交差多項式は既知の不変量と独立な新しいもので、仮想結び目の連結和などに関し多くの応用を与えた点でインパクトがある。奇捩れ数に対する局所変形や、仮想デルタ変形などに対応する不変量の決定は、結び目理論における代数的・幾何的構造を明らかにする点で重要である。
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