| 研究課題/領域番号 |
19K03473
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022-2023)
大阪府立大学 (2019-2021) |
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研究代表者 |
入江 幸右衛門 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 客員研究員 (40151691)
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| 研究分担者 |
岸本 大祐 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60402765)
山口 睦 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80182426)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 多様体の三角形分割 / Golod 性 / tight 性 / モーメントアングル複体 / Massey 積 / 多面体積 / ホワイトヘッド積 / ヤコビ恒等式 / ハーディー恒等式 / 単体複体 / タイト性 / Golod / F-タイト / トーリックホモトピー / Golod性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は、数学のいろいろな分野（具体的には、代数幾何学、可換環論、トポロジー、組み合わせ論）に現われるモーメントアングル複体とその一般化に関する研究です。モーメントアングル複体は、単体複体とよばれる簡単な数学的対象で記述できます。その単体複体が Golod 性という特別な性質をもつとき、モーメントアングル複体が非常に簡単な構造を持つことが今までの研究で予想されています。本研究は、単体複体が Golod 性を持つ必要十分条件を、その組み合わせ構造を用いて記述することを目指しています。
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| 研究実績の概要 |
以前より投稿中であった２つの論文中の証明に論理的飛躍が見つかり、本年度は精力的に証明の改良に取り組んだ。その結果、２つの論文の主結果は正しいことが確定し論文が受理され、そのうちの１論文が専門誌に発表された。２つの論文の主結果は次の通りである。
１．3次元多様体の三角形分割の Golod 性の特徴づけを次のように与えることができた。体 F 上向き付け可能な３次元多様体の三角形分割 M について、次の３条件を考える。1) M は Golod 性を持つ。(2) M は tight 性を持つ。(3) M に付随したモーメントアングル複体 Z(M) は懸垂空間のホモトピー型を持つ。このとき、これらの３条件は同値である。また、一般次元の多様体の三角形分割について、(1) ならば (2) が成り立つ。
２．体 F 上 tight な単体複体 K は、Golod である。この結果を１の結果を合わせると、体 F 上向き付け可能な（一般次元の）多様体の三角形分割 M について Golod 性を持つことと、tight 性を持つことが同値であることが分かった。
一般に、単体複体の Golod 性を示すには、そのコホモロジー群の積が自明（つまり、消えている事）だけでなく、高次の Massey 積が自明であることまで証明しなくてはならず、大変な労力を要した。今回の結果は、向き付け可能な三角形分割に限定すれば、Golod 性の証明が tight 性の証明に帰着され、理論的にも計算上においても大きな進歩があったと考えられる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
昨年度の科学研究費助成事業実施状況報告書において、本年度においては、（一般次元の）向き付け可能な多様体の三角形分割 M について、【研究実績の概要】で述べた３条件（ (1) M は Golod 性を持つ。(2) M は tight 性を持つ。(3) M に付随したモーメントアングル複体 Z(M) は懸垂空間のホモトピー型を持つ。）が同値であることを証明すると記した。しかしながら、投稿中の２論文中の証明の飛躍を査読者から指摘され、本年度の研究の大部分はその証明の飛躍を解消することに使わざるを得なかった。結果、当初予定していた研究には手が付けられず１年の遅延が生じたものと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
【現在までの進捗状況】で記したように、１年間の研究の遅延が生じているので、本年度実施する予定であった研究課題に今後も取り組む。つまり、向き付け可能な一般次元の多様体の三角形分割 M について、M が Golod 性を持つとき、M に付随するモーメントアングル複体 Z(M) は懸垂空間のホモトピー型を持つか、という問題の解決に取り組む。この問題は３次元においては解決されており、４次元以上の多様体ではどのようになるかが問題となる。まず、４次元以上の多様体の三角形分割で Golod 性を持つことがすでによく知られているものに対して、上記の問題がどのようになるか取り組む。
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