| 研究課題/領域番号 |
19K03481
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | コクセター系 / サラム数 / Coxeter 群 / 増大度 / Coxeter 元 / スペクトル半径 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
有限集合Sを生成系とし、Sの任意の元a, bに対し、abの有限個の積を基本関係式とする有限表示群(W, S)をCoxeter系という。 (W, S)の生成系Sによる、群Wの母関数の収束半径の逆数は増大度と呼ばれる。また(W, S)から|S|-次元実アファイン空間に幾何学的実現と呼ばれる鏡映群としての作用が定まり、Coxeter元と呼ばれるWの元のスペクトル半径は、(W, S)の幾何学的実現から一意に決まる。今回の研究では、これらCoxeter系の2つの幾何的量である増大度とCoxeter元のスペクトル半径、および両者の関係を考察する。
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| 研究実績の概要 |
コクセター系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数(増大度関数)の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から |S|-次元実アファイン空間に W-不変な2次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時コクセター元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。
今年度は曲面のサークルパッキングに関して考察した。種数２以上の閉曲面Sの三角形分割Tを考える。Tの頂点集合をVとし、各頂点に正の実数（ラベル）を与える。三角形分割の面である位相的三角形の３辺の長さが３頂点のラベルの和になる双曲三角形を対応させる。三角形分割の各頂点における三角形たちの内角の和を2πから引いた数をその頂点おける曲率と定義するとき、Vの各頂点における曲率が０になるようなラベルが、閉曲面Sの三角形分割Tに関するサークルパッキングに対応する。サーストンはサークルパッキングの存在と一意性を証明し、サークルパッキングに対応するラベルに収束する反復アルゴリズムを提唱した。
今年度の研究で、任意の初期値に対し反復アルゴリズムから定まる点列がサークルパッキングに収束ることを示した。この結果はColin de Verdiereによるユークリッド幾何（種数１）の結果の双曲幾何の場合への
拡張に対応する。ユークリッド幾何の場合は、相似変換の作用によりサーストンのアルゴリズムのヤコビ行列が確率遷移行列になるのに対し、双曲幾何の場合は相似の概念がないので、ユークリッド幾何と同じようには証明はできない。その点を補ってくれるのがSchmutzによる双曲三角形に関する命題であった。以上の結果を論文として学術研究に発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
サーストンによって提唱されたサークルパッキングに収束する反復アルゴリズムについて考察した。
今年度の研究で双曲幾何の場合に、任意の初期値に対し反復アルゴリズムから定まる点列がサークルパッキングに収束することを示した。この結果はColin de Verdiereによるユークリッド幾何（種数１）の結果の双曲幾何の場合に対応する。ユークリッド幾何における相似変換の作用によりサーストンのアルゴリズム
のヤコビ行列が確率遷移行列になるのに対し、双曲幾何の場合は相似の概念がないので、ユークリッド幾何と同じようには証明はできない。その点を補ってくれるのがSchmutzによる双曲三角形に関する命題であった。円どうしが接する場合（サークルパッキング）は、球面を双曲３次元空間の理想境界と思うと、サークルパッキングを双曲３次元空間にポアンカレ拡張することで、全ての頂点がカスプになっている双曲多面体が得られる。特にコクセター系(W,S)に対応する双曲コクセター多面体とサークルパッキングの関連が新たに考察すべき問題になった。
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| 今後の研究の推進方策 |
サークルパッキングの存在と一意性を証明した際に、サーストンは円どうしの交角がπ/2以下の場合（サークルパターン）まで存在と一意性を拡張した。今年度の研究で行った双曲幾何の場合のサークルパッキングに関する反復アルゴリズムの収束の結果を、サークルパターンにまで拡張することを問題とする。更に最近Ge-Hua-Zhou, Jiang-Luo-Zhou, Zhouによって、円どうしの交角がπ以下の場合まで拡張されたサークルパターンの存在と一意性の証明を理解し、反復アルゴリズムの収束の結果をZhou達の場合まで拡張することを今後の研究の方向とする。サークルパターンを双曲３次元空間にポアンカレ拡張することで、一般の双曲多面体が得られる。特にコクセター系(W,S)に対応する双曲コクセター多面体とサークルパターンの関連が考察すべき問題となる。
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