| 研究課題/領域番号 |
19K03489
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 名古屋工業大学 |
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研究代表者 |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90315177)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 情報幾何学 / 統計多様体 / アファイン分布 / Markov埋め込み |
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| 研究開始時の研究の概要 |
曲線や曲面など、曲がった図形の概念を高次元化したものを多様体とよぶが，情報幾何学では確率分布などを高次元空間内の点だと考え，抽象的な情報の空間を多様体とみなす．
これまでの情報幾何学の応用では，曲がった空間の内積に相当するリーマン計量や、微分に相当するアファイン接続を情報空間のなす多様体に適用する内容がほとんどであった．そこで本研究は，情報空間に構成される統計多様体の系列や，シンプレクティック構造など，より高次の情報幾何学構造に関してその数学的基礎の構築を目指すとともに，諸分野への応用も検討する．
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| 研究実績の概要 |
曲線や曲面など，曲がった図形の概念を高次元化したものを多様体とよぶ．情報幾何学では確率分布などを高次元空間内の点だと考え，抽象的な情報の空間を多様体とみなす．これまでの情報幾何学の研究は，曲がった空間の内積に相当するリーマン計量や，微分に相当するアファイン接続を，情報空間のなす多様体に適用するものがほとんどであった．そこで本研究は，情報空間に構成される統計多様体の系列や，シンプレクティック構造など，情報幾何学に対する高次幾何学構造の数学的基礎の構築を目指す．さらに，情報幾何学における数学的基礎の諸分野への応用も検討する．
2022年度は前年度から引き続き，アファイン分布論の構成とコントラスト関数，プレ・コントラスト関数の幾何学的構造の解明を中心に取り組んだ．コントラスト関数とプレ・コントラスト関数の幾何学の背景にはアファイン接続の双対性がある．情報幾何学のこれまでの研究は，この双対性は基本的にはFisher計量をはじめとする情報計量に関するものであった．そこで，何をもって双対と定義するべきかという情報幾何学の生い立ちにまで立ち返り，アファイン接続の双対性とプレ・コントラスト関数の幾何学との関連を検討した．アファイン分布論で重要となる擬似統計多様体では，右双対性と左双対性という2種類の双対性が現れるが，その違いの有用性についても検討した．さらに，プレ・コントラスト関数がコントラスト関数となるための可積分性などについても，アファイン接続の双対性という視点から再検討した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
捩れを許す統計多様体と擬似統計多様体の幾何学に関して，アファイン分布やプレ・コントラスト関数から得られるテンソル場の性質を解明するなど，研究は順調に進んでいる．また，アファイン接続の双対性について検討が必要であるという視点を得たことは，ある意味では研究開始当初の想定を超えた進展である．この視点から意味のある研究成果を得られるように，研究を継続したい．
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| 今後の研究の推進方策 |
現在，アファイン分布論やアファイン接続の双対性を包括的に概観する論文を執筆中であるが，2023年度が研究の最終年度となる予定のため，論文を完成させて発表させたい．また，国際会議等への参加を活発化させ，研究成果の公表活動を推進したい．
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